不光滑区域上的水波问题及两相流的线性稳定性分析

We plan in this program to study two problems: The first is the local well-posedness for the water-wave system on nonsmooth domains, and the second is the linear stability analysis for the two-fluid system. .In the first part, the water-wave problem studies the fluid with free boundary ruled by the Euler system under the assumptions that the fluid is invisid, incompressible and irrotational. Water-wave problem on nonsmooth domains models the beach waves or the fluids in some vessels in the real world. There are lots of results concerning this problem but most of them are computational results about the approximating models . The theoretical study of this problem is really difficult..In the second part, we plan to study the linear stability of the two-fluid problem which concerns the two layers of different fluids with a free interface in the middle. This is a useful extension to the stability results of the water-wave problem and the two-fluid problem.

本项目研究内容计划包括两个部分，第一部分是不光滑区域上水波问题的局部适定性，第二部分是两相流系统和各种模型的线性稳定性分析。.第一部分的水波问题研究在不可压缩无粘无旋假设下，带有自由边界的流体，由欧拉方程组来表示。不光滑区域上的水波问题是现实世界中浅滩或者容器里液体运动的物理模型，其研究成果目前集中于一些逼近和简化的数值计算方面，系统本身的理论研究具有比较大的难度。.第二部分计划研究上下有两层流体，中间有一个自由接触面的两相流的线性稳定性判别问题，作为对于已有的水波问题稳定性以及两相流问题稳定性判别的一个拓展。

本项目主要研究了二维角形区域上的水波问题。.首先，我们考虑了水波问题里DN算子的椭圆估计。由于边界有奇性，DN算子相应的椭圆问题解也会有奇性部分。为此，我们给出了混合边界椭圆问题的奇性分解和估计。基于此估计，我们在奇性部分存在的情况下，完成了DN算子及其形状导数的椭圆估计。.作为本项目的第二步，我们证明了带表面张力的水波问题的先验估计，目前接触角小于$\pi/6$。此时，我们的框架下椭圆问题没有奇性，然而角点会有耗散产生。我们引入了角点的一个条件来完成角点耗散项的估计。在此基础上，利用第一步的椭圆估计以及几何方法，先验估计得以完成。