分形网络系统的几何动力学分析

This project studies the geometric underlying spaces of the fractal network systems, and then explores the influences of geometry of the underlying spaces on their dynamical behaviors. Such influences will be investigated in three levels: First, the automata generation for fractal topological symbolic sequences of several fundamental fractal networks will be carried out, and the metric properties (geometric dimension, measure, etc.) will be given, which constitute the basic elements of the underlying spaces; Second, the microscopic random motions (discrete random walk and continuous Brownian motion) will be studied on the underlying spaces, such microscopic descriptions of the random motions as the Laplacian matrix, the chemical distance and the Holder exponent of the fractal derivative measure will be analyzed from the topological sequences of fractal networks; Finally, these microscopic random motions will be reflected by their macroscopic averages in the third level, i.e., the physical diffusion and wave equations. These equations and motions will be described by the physics of fractal network spaces, then the basic laws of statistical physics will be revised by the Lagrangian energy functions on the underlying spaces and the form of influence will be different from classical physics. Meanwhile, we will summarize the effects of the Holder exponent and the three dimensions (geometric, spectral, and walk dimensions) in the Einstein relation, which is one of the important subjects in fractal physics.

本项目研究分形网络系统的几何结构所构成的底空间，然后展开几何结构对其上动力学的影响的探索研究。这种影响主要分三个层面进行：第一层面进行基本分形网络上的分形拓扑符号序列的自动机生成，进而完善地赋予其度量性质（几何维度、测度等），构成底空间的基本要素；第二层面研究底空间上的微观随机运动（离散的随机行走和连续的布朗运动），利用分形网络的拓扑序列，可分析分形网络图的拉氏矩阵、化学距离以及分形导数测度的Holder指数等，实现随机运动的微观描述；最后，这些微观的随机运动通过其宏观平均反映到第三层面的物理扩散和波动方程中。这些方程和运动都由能量渠道进入分形网络空间的物理学，从而使其受到与古典物理不同的修正与影响。我们还将归纳总结爱因斯坦关系中的三种维度（几何维度、谱维度、行走维度）和Holder指数在分形物理学中的作用。

分形网络是典型的复杂系统，在物理、生物、医学等各领域中广泛存在。分形网络系统由于其结构及分数维度所带来的特殊的数学和物理特性，值得给予特别关注。本项目通过研究分形网络系统的几何结构所构成的底空间，探索几何结构对其上动力学的影响，并将一些研究延伸到了一般的复杂网络系统。研究内容主要有：进行了分形网络的构建及节点特征分析，对象包括类Sierpiński网络、确定性赝分形无标度网络（DGM网络）和基于随机赝分形网络（RDGM网络）的适应度模型；进行了基本分形网络上的分形拓扑符号序列的自动机生成，进而赋予其度量性质，构成底空间的基本要素；研究了底空间上的微观随机运动，采用符号动力学方法着重研究了Koch分形上的随机行走和布朗运动，讨论了化学距离与Hausdorff测度之间的关系，获得了Koch曲线随机行走的解析性模型结果，构造了在类Hausdorff测度上的Wiener过程；研究了复杂网络（不限于分形网络）的可控性，获得了自相似网络系统的严格可控性的解析结果，分析了度相关性对网络可控性的影响，研究了复杂网络的可控性与度平衡性的关系；提出了更有效地预测无向复杂网络结构的整体重构与划分重构方法；开展了生物系统的复杂网络研究，主要包括高血压相关基因的系列网络研究（分别构建各种不同类型的网络，辨识出与高血压相关的关键基因及通路），以及传染病网络的随机传播动力学研究；还进行了非线性复杂系统的动力学相关研究。这些研究结果有助于加深对分形网络和一般的复杂网络的结构、功能与演化等方面的认识，促进复杂网络与非线性动力学研究的进一步交叉结合。