二维及N维Glimm型格式的构造及其收敛性的研究

This project study on two-dimensional and N-dimensional Glimm type scheme of two-dimensional and N-dimensional nonlinear hyperbolic conservation law, we plan to study in two parts, there are the important basic problems in conservation law area..Firstly, we will study two-dimensional and N-dimensional scalar conservation law, we plan to study two-dimensional and N-dimensional Riemann problem respectively, choose appropriate variation and take new method for variation analysis， then construct two-dimensional and N-dimensional Glimm type scheme, and prove that the term of this scheme approach to the global solution of two-dimensional or N-dimensional Cauchy problem. We also plan to study the existence and uniqueness of global solution of some cases N-dimensional infinite data problem, by using N-dimensional Glimm type scheme. This research will provide new ideas for the study multi-dimensional Cauchy problem..Secondly, we will study two-dimensional Glimm type Scheme for two-dimensional conservation laws. There are very few studies on two-dimensional conservation laws, we already expertly take two-dimensional Glimm type scheme into the research of two-dimensional scalar conservation law, it will provide a lot of inspiration in study two-dimensional conservation laws. Specificly, we study two dimensional Glimm type Scheme for two dimensional Euler equations. This study will provide valuable ideas for the research of two dimensional conservation laws.

本项目研究二维及N维非线性双曲型守恒律方程的二维及N维Glimm型格式，我们计划的研究分为两部分，这些都是守恒律方程领域很重要的基础性问题。.首先我们将研究二维及N维标量守恒律方程，计划通过分别研究二维及N维黎曼问题，选取适当的变差并引入新的变差分析技巧，构造二维及N维Glimm型格式，并证明该格式的逼近项趋向二维或N维柯西问题的全局解。同时我们还计划利用N维Glimm型格式，研究一类N维无界初值问题全局解的存在唯一性。上述研究将为研究高维柯西问题提供了一种新的思路。.其次我们还将研究二维守恒律方程组的二维Glimm型格式。以往有关二维方程组的研究非常少，我们构造的二维 Glimm型格式已熟练应用于研究二维标量守恒律方程的柯西问题，并对二维守恒律方程组的研究有很大的启发。我们具体从二维欧拉方程组的柯西问题的二维Glimm型格式开展研究，该研究将为二维守恒律方程组的研究提有价值的研究思路。

本项目主要研究二维及N维非线性守恒律方程的柯西问题，主要成果有以下四点：.第一，我们利用二维近似黎曼解构造了二维非凸标量守恒律方程的二维Glimm型格式，并证明了格式是收敛的，并且格式的极限函数为该二维守恒律方程柯西问题的唯一熵弱解,该方法绕开了二维非凸守恒律方程黎曼解的结构分类难题，给出了研究二维非凸柯西问题的新方法，也为二维非凸黎曼问题的研究提供了新的思路。.第二，我们还构造了N维非凸标量守恒律方程的N维Glimm型格式并证明了其收敛性。高维黎曼问题一直是公开问题，我们对维数进行数学归纳，构造了高维近似黎曼解，利用外微分形式的相关理论，同样证明了格式的极限函数为方程的唯一熵弱解。这是Glimm型格式在解决高维守恒律方程上重要进展。.第三，我们将Kruzkov熵条件推广到了无界初值的情形，提出了无界解的稳定性条件。原有的Kruzkov熵条件只对有界解具有稳定性，而在无界情形下，在同时满足推广的Kruzkov熵条件和稳定性条件下，我们可以证明高维非凸标量守恒律方程对无界初值同样具有稳定性，进而证明其熵弱解是存在唯一的。特别的，我们还得到了满足稳定性条件的无界初值最大允许集合。这为研究守恒律方程无界初值问题给出了明确的范围，是该问题的重要进展。.第四，我们研究了N维非齐次守恒律方程的柯西问题，得到了全局光滑解的表达公式，证明了存在全局光滑解的充要条件，证明了该类解产生爆破的充要条件，并给出了精确的爆破时间。而以往得到的爆破时间是都是一个范围。