丢番图逼近、分形几何及相关问题研究

分形几何研究不规则的几何对象，丢番图逼近是数论中十分重要的研究内容，对刻画数的算术和代数性质起着很重要的作用。分形几何和丢番图逼近有着十分密切的联系，一直都是国内外研究的热点课题。本项目拟在研究丢番图逼近、分形几何及相关问题，包括研究分形集上Diophantine逼近的度量性质及分形结构，考察一般分形集，特别是自相似集上可很好逼近的点的分布状况及精确Hausdorff维数，弄清具有不同逼近阶的点的几何性态、研究在多项式和对数增长速度下模一分布例外集的几何性质、研究连分数部分商的相对增长速度以及对Littlewood猜测的探讨。上述这些都是国际上非常活跃的研究领域，著名学者Dodson, Katok, Kleinbock, Pollington, Schmidt,Velani等均在此方面开展工作，具有相当难度，在理论上这些研究将开拓一些新的方法，具有很强的理论意义和广泛的应用价值。

本项目研究了在无穷迭代函数系统生成的吸引子上满足一定丢番图属性的集合的分形结构；研究了丢番图逼近中下极限集的维数理论；获得了局部Jarnik-Besicovitch集、一致Jarnik集等集合的维数理论；研究了序列的模一分布问题，改进了Erdos 和Taylor等人的结果；同时研究了连分数展式中模一分布问题；建立了由矩形生成的上极限集的维数转移原理；另外还研究了动力系统中的丢番图逼近问题等。.这些问题都是度量数论、分形几何和动力系统研究中的非常重要的问题，同时是目前国际上研究的热点问题。我们的研究将为相关问题的研究提供一定的思想和方法。同时，相应问题的解决将有利于推动分形几何、动力系统和度量数论的研究。