三维可压和不可压旋转Navier-Stokes方程的维数分裂方法

很多流动带有复杂边界，如叶轮机流道内部三维粘性流动和飞机绕流等，由于它的边界是三维欧氏空间中复杂的二维流形，边界扭曲的几何是达到工程目标的主要依据。它的复杂性给计算带来巨大困难，直接影响计算精度、计算时间和稳定性。我们提出的方法是用叶片面二维流形，把流动区域切割成m个流层，在每个流层内建立局部的半侧地坐标系，并将N-S算子在此坐标下分裂为膜算子和弯曲算子，将弯曲算子作欧拉中心差分近似，得到二维流形上的2D-3C N-S方程。在每个流层内只要解二维流形上的N-S方程，然后直接构造三维近似解。这个方法与经典的区域分解法不同，因它仅在每个子区域解二维流形上的N-S方程，而不需解三维问题。这个创新的算法，把几何分析、流动特性和计算 有机结合在一起，同时也提出了一些数学问题，有待从PDE和数值分析两个方面去进一步探索。

本项目针对复杂几何边界的三维可压和不可压旋转Navier-Stokes方程的数值计算问题，提出了一种融合几何分析、流体力学和PDE数值分析的创新算法——维数分裂方法。它充分运用微分几何和张量分析工具，用区域边界二维流形将三维流动区域切割成一系列流层，然后建立各个二维流形上的2D-3C的Navier-Stokes方程。这个方法与经典的区域分解法相近但是又不同，因它仅在每个子区域解二维流形上的NS方程，而不需解三维问题，而且每个子区域问题可以并行计算。我们在上述创新的数学模型和新的数值方法方面，已经取得了很好的成果，具体包括：(1) 研究叶轮通道内粘性不可压缩流动问题的维数分裂法和有限元逼近，接着建立二维流形上的Korn不等式，使用Galerkin方法证明了2D-3C的Navier-Stokes方程加罚形式的解的存在性，通过先验估计证明了解的唯一性，并给出了加罚问题的逼近性质。基于近似惯性流形，给出了加罚问题的两重网格有限元逼近，改进了误差估计。(2) 通过引入一个新的整体曲线坐标系研究透平机械内部可压缩旋转Navier-Stokes方程的维数分裂方法和二度并行算法。(3)针对具有Dirichlet边界条件的Navier-Stokes方程，给出一种算子分裂格式。格式将原来不可压和非线性相耦合的问题分解为两类简单的子问题，证明了离散格式的稳定性和解的存在唯一性，并通过数值算例检验了分裂格式的稳定性。(4) 针对低阶有限元对不满足LBB条件，以及非线性项容易引发数值震荡等缺陷，提出了求解非定常Navier-Stokes方程的特征线稳定化有限元格式，证明了解的存在唯一性并给出了误差估计。(5) 研究建立在变分形式和Taylor级数上的维数分裂方法，并且应用此维数分裂方法建立一个新的边界层方程和新算法，它也是一个二维流形上的Navier-Stokes 方程。与外部流动方程偶合求解，不但可以得到边界层内流场分布，而且可得到法向速度梯度和边界上的法向应力，为外形优化提供高精度的可靠结果。发表SCI文章17篇，国务院学位办规定五种数学期刊4篇，参加国际会议邀请报告4次。