符号序列与动力系统中的分形问题

Applying some methods and technique from fractal geometry, symbolical dynamical system and combinatorics, we study the symbolic dynamical systems generated by the sequences and various kinds of properties of the corresponding fractal structure in this project. Many fractal sets and structures appear naturally in the symbolic dynamics, and, on the other hand, these fractal objects reflect the corresponding properties of the original system from various viewpoints. Based on the known results, we study the following subjects in this project: the dimension and gauge properties of the sets defined in terms of the recurrence properties of the prefixes in the symbolic dynamics; the fractal structure and Tiling properties of the atomic surfaces generated by the "cut and projection" of the sequences; the growing speed of the partial quotients sequences in the continued fraction expansion of the numbers, etc.

本项目结合分形几何、符号动力系统以及词上组合学的方法和技巧，研究符号序列、其生成的符号动力系统以及其通过不同方式表示出来的分形结构的各种性质及其应用。在符号动力系统的研究中自然的会出现各种分形集合，而对这些分形集合的研究从各个不同的角度反映出原来系统的有关性质。在已有结果的基础上，我们进一步研究符号空间中由前缀的回归性质定义的集合的维数和量纲，研究对序列的"切割投影"方法得到的原子表面的分形结构与Tiling性质；研究连分数部分商序列的增长速度等。

分形几何，动力系统，代换序列三者间有着非常紧密的联系，它们是近年来数学中的热点研究内容。连分数是实数的表示理论中的最基本的表示方式之一，也是研究分形几何与动力系统的重要研究工具，连分数动力系统的度量性质及分形维数的研究具有很强的理论意义和应用价值。本项目结合分形几何，动力系统以及连分数中的技巧和方法，研究了连分数动力系统中与 Poincaré 回归时间有对偶关系的量 Hitting depth 的动力性质；研究了平面上一类由自仿函数生成的自仿集的水平集的分形性质；也研究了一类重要的代换序列Thue-Morse 序列的谱测度以及与之相关的动力系统和随机游动的性质。这些问题的研究有利于推动分形几何与动力系统等相关领域的发展。