实解析挠率不变量的粘合公式

In global differential geometry, Ray-Singer torsion is an important analytic invariant associated to a flat vector bundle on a differentiable manifold. It corresponds to the Reidemeister torsion in algebraic topology, and the famous Cheeger-Müller theorem says that these two invariants are equivalent. In 1995, Bismut and Lott generalize the Ray-Singer torsion to fibration case and get the "Bismut-Lott real analytic torsion forms". The applicant and his collaborators will use the scattering theory of operators and the method of adiabatic limit to study the gluing properties of Ray-Singer analytic torsion and Bismut-Lott real analytic torsion forms, i.e. , when the manifold is cut into two parts by a compact hypersurface, we study the relation between the torsions of two parts and the torsion of the whole manifold. This research has applications in establishing the Cheeger-Müller type theorem for the higher order torsion invariants of fibrations.

“Ray-Singer解析挠率”是整体微分几何领域里关于微分流形及其上的平坦向量丛的一个重要的解析不变量。与其对应的是代数拓扑中的“Reidemeister挠率”，著名的Cheeger-Müller定理指出这两个不变量是等价的。1995年，Bismut-Lott推广“Ray-Singer解析挠率”到纤维丛的情形得到了“Bismut-Lott实解析挠率形式”。申请人与其合作者将运用算子的散射理论以及极热极限的方法分别对“Ray-Singer解析挠率”以及“Bismut-Lott实解析挠率形式”的粘合性质展开研究，即当微分流形被一个紧的超曲面切割成两个部分时，各部分相应的挠率和原来流形的挠率之间有怎样的关系。该项研究有助于建立纤维丛上的“高阶挠率不变量”的Cheeger-Müller定理。

Reidemeister于1930年引入了一个代数拓扑不变量“Reidemeister-挠率”。这是数学史上发现的第一个可以区分同伦等价的透镜空间的不同的同胚类型的不变量。作为拓扑挠率的解析类比，Ray-Singer 于1971年对de Rham复形定义了一个解析的不变量“Ray-Singer挠率”，并猜测解析挠率与拓扑挠率是等价的。在酉表示的情形，Cheeger和Müller于1978年左右各自独立的解决了Ray-Singer猜想，现在称之为Cheeger-Müller定理。1992年，Bismut和张伟平院士合作证明了最一般情形的Cheeger-Müller定理。作为解析挠率在纤维丛情形的推广，Bismut和Lott于1995年引入了解析挠率形式（BL-挠率）。Igusa-Klein于2002年引入了高阶的拓扑挠率(IK-挠率)，从而推广了Reidemeister-挠率。一个自然的问题：是否有高阶版本的“Cheeger-Müller定理”, 即“BL-挠率”=“IK-挠率”？Igusa于2008年提出了两条公理来刻画这些不变量：1，转移公理，2，加性公理。在相差纤维丛底流形上一个普适的上同调类的意义，任何满足Igusa的两条公理的高阶挠率不变量都是"等价"的。同时，Igusa证明了IK-挠率满足这两条公理。2002年，麻小南教授证明了BL-挠率满足“转移公理”。由于BL-挠率的粘合公式可以导出“加性公理”，我们工作的动机和目的：证明BL-挠率的粘合公式，从而由Igusa的公理化导出：相差一个普适上同调类的意义下，BL-挠率和IK-挠率是等价的。我们主要研究: 当一个超曲面将原有的纤维丛“切割”成两个新的带边的纤维丛时，“粘合公式”如何给出这三个纤维丛对应的BL-挠率之间的关系。首先，与Martin Puchol, 张野平合作利用"散射矩阵"的技术给出Ray-Singer挠率的粘合公式的一个纯解析的新证明，该论文已被国际数学杂志Analysis&PDE接受。然后，与Martin Puchol, 张野平合作，在一般情形下使用“极热极限”和“Witten形变”的技术证明了Bismut-Lott解析挠率形式的粘合公式，该论文已完成、修改中。