反常运动粒子的轨迹泛函分布、平均退出时间、逃逸概率：模型与算法

Anomalous diffusion widely appears in nature, such as, cell migration, the movements of RNA molecules and lipid particles, etc. There are already a lot of research works for the probability distribution of the locations of the particles, and the computational methods of the model equations. But the deep research for statistical properties and dynamic behaviors of the motion of the anomalous moving particles is still advancing. This project intends to analyze and compute the functional distribution of the particle trajectories, the mean exit time, and the escape probability, and provide numerical methods for the existing models, and perform numerical stability and convergence analysis; derive the partial differential equation (PDE) governing the functional distribution of the trajectories of the particles performing several kinds of anomalous diffusion; derive the PDE governing the mean exit time and the escape probability for the anomalous diffusion with power-law waiting time distribution; provide numerical methods and the theory of numerical analysis for the derived equations; use Monte Carlo method to simulate particle trajectories, then perform ensemble average and compare it with the numerical solution of deterministic PDE to ensure the effectiveness of the numerical methods and correctness of the model; expand the application scope of the models and simulate them, e.g., calculations of the distribution of the first mean passage time and the maximum displacements. The research of this project will develop newly efficient computation methods, provide the techniques of the more in-depth study of anomalous dynamics, more deeply reveal its mechanism, and explain the observed experimental phenomena.

自然界中存在着大量的反常扩散现象，如，细胞迁移、核糖核酸和脂质颗粒的运动等。关于反常运动粒子所在位置的概率分布的模型及其计算方法已有大量的研究工作，但对反常运动粒子的各种统计性质和动力学行为的更深入研究尚在推进。本项目拟分析和计算作反常运动粒子的轨迹泛函分布、平均退出时间和逃逸概率，对现有模型给出高精度计算方法、作稳定性和收敛性分析；同时导出几类反常粒子轨迹泛函分布满足的方程；导出等待时间为幂律结构的反常运动粒子的平均退出时间和逃逸概率满足的方程；对导出的方程给出数值方法和数值分析理论；应用蒙特卡罗方法对粒子轨迹作微观模拟后求系综平均，并与直接求解确定性方程得到的解作比较，从而验证计算方法的有效性及模型的正确性；拓展模型的应用范围并作动力学模拟，如计算首次通过时间及最大位移满足的分布等。通过本项目的开展将发展新的计算方法，提供更深入地研究反常动力学的手段，更深刻地揭示其机理、解释实验现象。

输运过程，特别是扩散过程，在物理和生物系统中普遍存在。布朗运动具有遍历的性质。而大量区别于布朗运动的反常扩散过程，往往是非遍历的。进一步地，人们在研究反常非遍历扩散现象的内在机制过程中发现，粒子的运动方式往往不像布朗运动那样简单，它们受到非均质环境的影响或者其运动模式是非齐次的。本项目从建立模型、设计计算方法、正则性与动力学分析等方面深入研究了反常非遍历运动粒子的轨迹泛函分布、平均退出时间和逃逸概率。在模型方面：建立了有多个内部状态的复合泊松过程的Fokker-Planck方程，以及关于轨迹泛函和内部状态泛函分布的方程;建立了既有反应又有非遍历扩散的粒子轨迹的泛函分布满足的方程；建立了与时间方向的逆从属过程耦合的朗之万方程描述下的粒子轨迹泛函分布满足的方程；建立了具有回火莱维稳定等待时间反常过程的逃逸概率和平均退出时间满足的方程；建立了一系列新的微观模型，如，构造了新的从属过程。在计算方法方面：对相关模型得到了在不同光滑性初始条件下解的正则性估计，设计了有限元方法并给出了完全误差估计；应用多尺度基函数对相应的代数系统给出了有效的预处理，应用样条多尺度基作为基函数求解了Feynman-Kac方程；建立了变系数模型的正则性估计和计算格式完整的理论结果；基于卷积求积的拉普拉斯表示，设计了模型的计算格式，并在测度范数意义下得到了完整的误差分析；研究了波在非齐次媒介中有频率依赖的幂律衰减的波传播模型的有限元方法，分析了方程解的正则性等等。在动力学分析方面：论述了边界问题的有效解决途径以及底层的微观随机模型和宏观（或连续）尺度上的数学模型物理量之间的对应关系；应用无限密度讨论了具有胖尾逗留时间的更新理论，计算了稀有事件的大偏差分布，包括更新次数、重现次数、占据时间、跨越观测时间的时间间隔等等。本项目的开展建立了新的模型，发展了新的计算方法，提供了更深入地研究反常动力学的手段，更深刻地揭示了机理、解释了现象。