伽罗华环上重根常循环码的一些问题研究

Constacyclic codes have a rich algebraic structure, and their encoding and decoding circurits can be carried out easily. Thus, they have been widely used in practice. Constacyclic codes have been the focus and hot topic of the study of error-correcting codes. This project will mainly study (1+λp^2)-constacyclic codes over Galois rings GR(p^k,m), where λ is the unit of Galois rings. Firstly, we establish the structure of (1+λp^2)-constacyclic codes of arbitrary lengths over Galois rings using ring isomorphism. Secondly, (1+λp^2)-constacyclic codes of length p^s over GR(p^3,m) will be classified and enumerated using discrete Fourier transform and the ideal theory of finite commutative chain rings. Finally, we will give the Hamming weight and homogeneous weight distribution of (1+λp^2)-constacyclic codes of length p^s over GR(p^3,m) using the classification structure. The project not only enriches the theory of constacyclic codes over finite rings, but also provide us a new method to study constacyclic codes.

常循环码具有丰富的代数结构，且其编译码电路容易实现，因此在实践中被广泛应用。常循环码一直是纠错码理论研究的重点和热点。本项目将主要研究伽罗华环GR(p^k,m)上重根长度的(1+λp^2)-常循环码，其中λ是伽罗华环中的单位。首先，利用环同构给出伽罗华环上任意长度的(1+λp^2)-常循环码的结构，其次，利用离散的傅里叶变换和有限交换链环的理想理论给出伽罗华环GR(p^3,m)上长为p^s的(1+λp^2)-常循环码的分类与计数。最后，利用分类结构，给出GR(p^3,m)上长为p^s的(1+λp^2)-常循环码的汉明距离和homogeneous距离分布。本项目不仅丰富了有限环上的常循环码理论，而且给出了研究常循环码的一种新方法。

常循环码具有丰富的代数结构，且其编译码电路容易实现，因此在实践中被广泛应用。常循环码一直是纠错码理论研究的重点和热点。本项目取得以下研究成果：首先，给出了有限环F2+uF2+vF2+uvF2上长为2^s的(1+u+v)-常循环码及其对偶码的结构分类,并给出了常循环自对偶码存在的充要条件及计数；其次，给出了有限域上长为nlp^s的常循环码的结构分类及常循环自对偶码的结构与计数，并且利用常循环码构造了参数较好的线性互补对偶(LCD)码；最后，借助有限域上重根循环码的汉明距离分布，给出了长为p^e的循环码的符号对距离分布。本项目取得的研究成果在理论上丰富了环上纠错码理论的研究，同时为符号对码的构造提供了一种新的码源。.