控制论中的积分不等式理论及应用研究

In dealing with the lots of problems related with control theory, the systems are adequately described by differential equations with maxima, which contain input, output and state space. The qualitative investigation of properties of differential equations with maxima requires building of an appropriate mathematical apparatus. One of the important mathematical tools for studying existence, uniqueness, continuous dependence, boundedness and stability of solutions of differential and integral equations with maxima, is the method of integral inequalities. This study is aimed to discuss integral inequalities with maxima, requiring neither monotonicity nor separability of given functions. We firstly investigate retarded integral inequalities with maxima. Through constructing an auxiliary inequality, applying variable substitution techniques, we get the estimation of the solution of the differential equation. These results are also applied to study the boundedness, uniqueness and continuous dependence of the solution of the differential equation. Secondly, we consider sum-difference inequalities with maxima. Using the monotonization, difference operators and the discretization technique to estimate the unknown function, our results can be used to weaken conditions for some known results. Finally, we discuss impulsive integral inequalities with maxima by using the monotonization technique to estimate the unknown function.

在处理控制论的许多问题中,系统通常是由包含输入、输出及状态空间的具有最值项的微分方程所描述.而具有最值项的积分不等式是研究此类微分方程解的存在性、唯一性、有界性、稳定性等性质的一个重要工具.本项目针对所给函数不具有单调性或可分离性的情形,进行具有最值项的积分不等式研究.首先研究一般形式的具有最值项的时滞积分不等式,拟通过构造辅助不等式,变量代换,单调化等技巧给出未知函数解的估计,并将所得的结果用于证明具有最值项的微分方程的有界性,唯一性和连续依赖性.其次,研究具有最值项的和差分不等式,拟采用单调化技巧,不同的差分形式和离散化技巧得到未知函数解的估计并将所得的结果用于验证具有最值项的差分方程的有界性和唯一性.随后,我们研究具有最值项的脉冲积分不等式,拟通过将不等式中的函数单调化,给出不等式中未知函数的估计,进而将所得的不等式的估计用于研究一类具有最值项的脉冲微分方程解的估计.

在处理控制论的许多问题中,系统通常是由包含输入、输出及状态空间的具有最值项的微分方程所描述.而具有最值项的积分不等式是研究此类微分方程解的存在性、唯　一性、有界性、稳定性等性质的一个重要工具。本项目主要做了以下的工作：.（1）将已有的线性二元时滞积分不等式进行了推广到具有最值项的非线性积分不等式，利用对不等式中的函数的单调化，构造强单调化序列，给出了未知函数解的估计，在较弱的条件下推广了一些已有的结果，进而将所得的结果应用到研究含有最大值项的偏微分方程解的有界性。.(2) 将已有的线性时滞积分不等式推广到含有最大值项的Volterra型积分不等式，放弃了对函数的单调性和可分离性要求，利用单调化技巧， 给出了不等式未知函数的估计，在较弱的条件下推广了一些已有的结果，并将所得的结果应用到研究含有最大值项的弱奇性积分-微分方程解的唯一性。.(3) 将已有的线性时滞积分不等式推广含有最大值项的Wendroff型二元弱奇性时滞积分不等式，放弃了对函数的单调性和可分离性要求，利用单调化技巧，给出了不等式未知函数的估计， 在较弱的条件下推广了一些已有的结果， 并将所得的结果应用到研究含有最大值项的弱奇性微分方程解的唯一性。