三角范畴、Hall代数和丛代数

我们研究三角范畴上的Hall代数和丛代数 (cluster代数) 的结构。从代数表示论出发，构造周期三角范畴上的Hall代数，给出无限维李理论、量子群和包络代数等的整体实现的范畴化模型。 我们将比较二周期三角范畴的Hall代数诱导的范畴化模型和Lusztig和Nakajima使用quiver variety 给出的关于包络代数的有限维商的整体实现的几何化模型； 对于任意遗传范畴上的cluster范畴，构造相应的cluster代数，研究导出等价的不同遗传范畴上的 cluster代数的关系，构造quiver variety上的cluster乘法公式和定义相应的cluster代数， 研究这些 cluster代数的对偶半典范基（dual semicanonical basis）和canonical基。

在本次项目中，我们构造了二周期导出范畴上的Hall代数，内蕴地给出了无限维李理论、量子群和包络代数等的整体实现的范畴化模型。我们定义了奇周期三角范畴上Hall超代数，建立了Hall代数方法和李超理论可能联系的平台. 另一方面，我们给出了仿射型量子丛代数的generic基的刻画。进一步，我们证明了量子丛代数上的一类乘法公式，这建立了从Hall代数到量子丛代数的联系。