某些高阶非线性波动方程解的适定性，爆破和渐近行为

In this project, we mainly study the initial boundary value problems for the double dispersive-dissipative viscoelastic wave equation with nonlinear strong damping and source terms，the viscoelastic wave equation with nonlinear boundary damping and internal source terms and the Cauchy problem for a class of telegraph equation with nonlinear damping damping term. All of these equations arise from different branches of physics and have strong physical background. The methods which study these equations are very complicated and important to us.The outline of project as follows: we will study the global existence of solutions to some higher-order nonlinear wave equations by the Galerkin approximation, potential well theory and monotonicity-Compactness method or by a Galerkin approximation scheme combined with a limiting process of the solutions of a series of periodic boundary value problem. Using the improved the concavity method, potential well theory and energy pertubation method etc, we will consider the nonexistence of global solutions for these equations which is called the "blow-up". Especially, the threshold results of global existence and nonexistence of solutions for these equations will be discussed under certain conditions. We will give the explicit decay rate estimates of the energy for these equations by making use of the energy pertubation method, multiplier method, Differential-Integral Inequalities and other methods.

本项目主要研究带有强阻尼项和源项的双色散粘弹性波动方程以及带有非线性边界阻尼项和内部源项的粘弹性波动方程的初边值问题，同时还讨论带有非线性阻尼项的电报方程的Cauchy问题。这些方程都有重要的物理意义，同时在数学研究上也有很强的挑战性，故而受到了物理学家和数学家的高度重视。研究内容为：利用Galerkin逼近、势井和单调紧致等方法的结合或通过Galerkin逼近序列和一系列周期初边值问题整体解的极限过程的结合来证明整体解的存在性，利用改进的凹性方法、势井和能量扰动法等来研究整体解的不存在性，即解在有限的时间内的爆破(blow-up)。特别的，在适当的条件假设下还讨论整体解存在与不存在的临界性门槛结果。利用能量扰动法、乘子方法和积分-微分不等式等来研究方程解的能量的衰减率估计。

众所周知，粘弹性材料本身所具有阻尼效应是通过积分-微分算子来反映和描述。为此，带有粘弹性项(记忆项)的非线性发展方程就出现在：如粘粘性材料中粘滞流动的分析和热传导的分析、拥有非线性阻尼的电报线路中电信号的研究、 粘弹性杆中非线性振动的研究以及有关粘性等离子体碰撞中产生的离子声波的速度演化分析等许多物理过程研究中。特别地，在研究电缆输电线路中电流电压的变化规律时推导出一类经典的数学物理方程，即电报方程。近年来，随着人们对相关领域探索深度和精度的不断拓展，上述相关方程广泛地出现在工程科学和生物医学等许多分支的相关模型中，吸引了众多数学家，物理学家的关注。本项目致力于研究几类高阶非线性波动方程解的适定性，爆破和渐近行为，具体研究内容和成果为：1. 考虑带有非线性边界阻尼项和内部源项的粘弹性波动方程的初边值问题，已完成一篇学术论文且发表，通过Galerkin逼近、单调紧致方法和势井方法的结合证明整体弱解的存在性；接着，利用能量扰动法和乘子方法的结合讨论能量的衰减率估计。最后，在一些特殊的条件下讨论有限时间内解的爆破性。 2. 研究带有强阻尼项和源项的双色散粘弹性波动方程的初边值问题，已完成一篇学术论文，通过Galerkin 逼近、势井方法和单调紧致法的结合证明了整体弱解的存在性；在初始能量为正和为负两种情况下，利用改进的凹性方法和能量扰动法的结合分别讨论有限时间内解的爆破性；在适当的假设条件限制下给出了整体解存在与不存在的临界性门槛结果；最后， 在临界初始条件下，同样证明了整体弱解的存在性。3. 考虑一类带有非线性阻尼项的电报方程的Cauchy 问题，主要证明了有限时间内解的爆破性，同时给出了爆破时间的上界和下界估计。4. 对高阶非线性亚抛物方程爆破现象的研究，已完成3篇学术论文，讨论其爆破时间上界、下界以及爆破率的估计。本项目共完成论文8篇， 其中4篇已发表，4篇正在审稿和修改中，培养博士生两名，硕士生一名。