非交换拟鞅空间上原子分解和内插定理的研究

In recent years, with the development of noncommutative mathematics, the theory of martingale spaces has gradually expanded from classical setting to noncommutative setting. At present, noncommutative martingale theory has become one of the hot topics. Compared with the study of martingale theory, so far, the research on quasi-martingales is about the classical setting. Now this project is a study mainly on Johnson–Schechtman inequality, Doob inequality for noncommutative quasi-martingales and the atomic decomposition for some noncommutative quasi-martingale spaces. Moreover, we shall study interpolation results in the framework of noncommutative symmetric spaces. This research will not only make the noncommutative theory more perfect, but also enrich and promote the study of functional analysis.

随着非交换数学的蓬勃发展，鞅空间理论逐渐由经典鞅论向非交换鞅论方向扩展。时至今日，非交换鞅论已经成为大家关注的热点之一。然而相比于研究的比较透彻的鞅理论，有关拟鞅的研究主要停留在经典拟鞅的情形。本项目将研究非交换拟鞅的Johnson–Schechtman不等式，并对一些特殊的拟鞅空间进行原子分解。此外，我们还将在非交换对称空间的框架下研究拟鞅空间的内插定理。我们相信本项目的研究必将使非交换空间理论更臻完善，同时也将丰富和推动泛函分析理论的发展。

本项目利用拟鞅的Doob分解，采用算子剖分的技巧，证明了非交换拟鞅的Cuculescu不等式和Gundy分解。作为Gundy分解的应用，我们可以轻松的把鞅的Johnson–Schechtman不等式和原子分解推广到拟鞅的情形。此外，本项目构建了特殊的拟鞅空间，在非交换对称空间的框架下研究了拟鞅空间的对偶定理和内插定理。最后，本项目还研究了鞅的极大函数的弱加权不等式以及弱Orlicz-Lorentz空间的一些性质。该项目的研究内容是最近鞅空间理论研究的热点问题，它不仅使非交换空间理论更臻完善，同时也将丰富和推动泛函分析理论的发展。