非欧氏空间上Hamilton系统的类Bertrand-Darboux定理的研究

The separability of Hamilton-Jacobi equation is a classical but active topic among the research of classical integrable Hamiltonian system. It is intimately related with differential geometry. For the system defined on Euclidean plane, the Bertrand-Darboux (BD) theorem is a classical tool to detect its separability. Systems defined on non-Euclidean spaces are also studied. However, the similar BD-type theorems on them have not been discussed. We will investigate Hamiltonian systems defined on non-Euclidean spaces, from the perspective of BD-type theorem. More precisely, we will establish the explicit BD-type theorems on some common spaces, e.g. the sphere, hyperbolic plane, Minkowski plane; the relation between BD-type theorems and some known results will be discussed. These study may reveal the close connection between the theory of classical integable system and modern differential geometry, and plays a vital role in the interdisciplinary investigation in mathematical physics.

在有限维可积Hamilton系统的研究中，Hamilton-Jacobi方程的可分性是一个经典而又活跃的研究课题。可分性与微分几何有着密切的联系。对于欧氏平面上的Hamilton系统，人们已有判别其可分性的经典Bertrand-Darboux(BD)定理。同时一些非欧氏平面上的系统也有很多研究结果。然而现有文献有不足之处，没有探讨这些空间上的类BD定理。在前人研究的基础上，我们拟从Bertrand-Darboux定理的角度来研究这些非欧氏空间上的Hamilton系统。对于一些常见的非欧氏空间，例如球面、双曲平面、Minkowski平面等，我们拟给出类BD定理(方程)的具体形式，并试图初步揭示出这一定理与文献中已有结果之间的内在联系。这些研究能进一步揭示出经典的可积Hamilton系统理论与现代微分几何之间的密切关系，对于加深数学与物理不同分支之间的渗透和交叉有着重要的意义。

经典的Eisenhart提升方法通过扩大相空间的维数，把低维的自然系统变为高维的测地系统。这一过程保持可积性。我们将Eisenhart提升与带位置依赖质量系统的构造方法结合，构造出了新的可积的测地系统，并调查了底空间的度量的对称性，得到了与已知守恒量对应的高阶Killing张量，并探索了不可约Killing张量的可能形式。我们获得了三维版本的Euler双心引力系统，证明了新系统在椭圆柱坐标中是Stackel可分系统。得到了一类弯曲的3维Riemann流形上，以及它上面的二阶Killing张量。通过系统实例揭示出带有位置依赖型质量的Hamilton函数与可分坐标之间的关键联系，即可以应用可分坐标来形变Hamilton函数，从而获得了构造带有位置依赖质量的系统的一种有效方法。我们调查了Eisenhart提升方法在构造高维可积系统方面的诸多应用，并具体地获得了Euler双心引力系统、经典的Hénon-Heiles系统的高维提升系统。同时研究了高维系统对应的黎曼流形或时空的几何学性质。本项目的研究工具大多是几何工具或分析学工具（微分方程）。研究对象是弯曲空间的余切丛上的Hamilton系统，研究过程综合运用了非欧几何（黎曼几何）、辛几何、可积Hamilton系统理论、Hamilton-Jacobi理论等重要理论知识。这些研究能促进经典的Hamilton系统理论与现代微分几何之间的相互渗透、相互交叉，揭示了现代数学与理论物理不同分支之间的密切联系。