风险理论中若干问题的阶段观测建模、数值计算与非参数估计

In this project, we will study the periodic observation modeling, numerical computation and statistical estimation for some problems in risk theory. First, we study the dividend and tax strategies in risk models under periodic observation, and discuss how to compute the risk measures and the total expected discounted dividends (tax). Next, for the Markov additive risk model with investment and high dimension risk models, we develop numerical methods for computing the risk measures. Meanwhile, we will also consider the finite time horizon ruin and dividend problems, investigate the numerical methods for computing the finite time risk measures and the expected discounted dividend payments. Finally, for the compound Poisson risk model with investment and the Levy risk model, we study how to estimate the ruin probability and the expected discounted penalty function by statistical methods, study the consistency and asymptotic normality of the estimates under large sample setting, and verify the efficiency under finite sample size setting.

本项目将针对风险理论中若干问题的阶段观测建模、数值计算和非参数估计展开研究。首先，我们将研究阶段观测下风险模型中的分红、缴税问题，讨论风险测度、分红（缴税）总额的期望现值等的计算方法。其次，我们针对考虑投资的马尔科夫可加风险模型和高维风险模型展开研究，给出风险测度的数值计算方法。同时，我们还将考虑有限时间内的破产和分红问题，研究有限时间内风险测度和分红总额期望现值的数值计算方法。最后，在考虑投资的复合泊松风险模型和Levy风险模型下，我们研究破产概率和期望折现罚函数的统计估计方法，讨论估计量在大样本下的相合性、渐近正态性，并通过模拟验证有限样本下估计量的有效性。

在该自然基金项目的资助下，我们主要对风险理论中的阶段性观测建模理论、风险测度的数值计算和非参数统计估计问题进行了研究。首先，对于阶段性观测建模，我们假定保险公司或其它有关部门对保险公司的盈余水平进行阶段性观测，并根据观测到的盈余水平对分红、注资、税收等问题进行决策。假定观测间隔时间服从指数分布或Erlang(n)分布。对于不同观测下的风险模型，研究了期望折现罚函数、分红总额的期望现值、注资总额的期望现值和税收总额的期望现值，给出了有关函数的性质和计算方法。其次，我们对不同风险模型下的破产概率和期望折现罚函数等风险测度的数值计算进行了研究。在马氏风险模型下，给出了期望折现罚函数的递推计算方法；在Levy风险模型下，利用投影方法给出了期望折现罚函数的计算方法；在经典风险模型下，给出了基于傅里叶-cosine级数展开的破产时间密度函数的计算方法；在考虑投资的风险模型下，推导了有限时间破产概率的渐近计算公式。最后，我们对破产概率和期望折现罚函数等风险测度的统计估计进行了研究。在经典风险模型下，我们研究了期望折现罚函数、破产赤字的贴现密度函数和有限时间内的破产概率的非参数估计；在带布朗运动扰动的复合泊松风险模型下，给出了基于傅里叶-sinc级数展开的期望折现罚函数的非参数估计；在谱负Levy风险模型下，研究了基于傅里叶变换的破产概率和期望折现罚函数的非参数估计。针对所有估计量，我们不仅证明了大样本下的相合性，而且通过模拟验证了有限样本下的有效性。通过本项目的研究，我们不仅丰富了风险理论中的相关理论内容，也为业界提供了有价值的参考。