对数奇异抛物型方程的柯西问题和解的正则性

This project focuses on a logarithmically singular parabolic equation that arises from geometry and thin film dynamics. We are going to investigate the following four problems: (1) continuity of its weak solutions; (2) construction of a bounded discontinuous weak solution; (3) uniqueness of the very weak solution for initial-boundary value problems; (4) existence of solutions for Cauchy problems.

本项目关注有几何以及物理背景的对数奇异抛物型方程。我们将研究以下四个问题：（1）弱解的连续性；（2）构造有界的不连续弱解；（3）初边值问题的解的唯一性；（4）柯西问题的解的存在性。

本项目研究一类具有对数奇异性的抛物方程。它的背景是：第一，它描述了平面上的Ricci流。第二，它描述了液体薄膜（如肥皂泡）的动力学。第三，它可以看成多孔介质方程的极限情况。本项目主要研究内容是该方程的弱解得正则性，以及它的柯西问题的解的存在性。在本项目执行期间，提出并完成了估计弱解的部分正则性的研究方向，并为下一阶段进一步研究做好了积极准备。