马氏链驱动的随机模型下若干最优投资与权益链接产品的定价问题

Brownian motion and jump-diffusion processes are used to model the randomness of the real word in most of models in mathematical finance and actuarial science. In this project, we shall study the financial market driven by Markov chains, i.e. the randomness are modelled by Markov chains. Similar to the models driven by Brownian motion and jump-diffusion processes, the model driven by Markov chains can capture various features of the real world market. Specifically, in this market, we shall investigate the pricing of guaranteed minimum death benefits, time-inconsistent optimal consumption-investment problem and mean-variance portfolio selection with random coefficients and portfolio management in a financial market with memory. To characterise the solutions to the above three problems, we shall study backward stochastic differential (difference) equations with random terminal time, a new class of BSDEs and backward stochastic Volterra integral equations, which are all driven by Markov chains.

在金融数学和保险精算中，大多数的模型使用布朗运动或跳－扩散过程来刻画现实中的随机因素。本项目拟研究由马氏链驱动的金融市场，在该市场中随机因素由马氏链来刻画。与由布朗运动或跳扩散过程驱动的模型一样，由马氏链驱动的模型也可以刻画真实市场的许多特性。具体的，在这个市场中，我们将研究由马氏链驱动的金融市场中的最低保证死亡受益产品的定价、含有随机系数的时间不一致性的最优消费投资问题与均值－方差投资组合问题，以及含有记忆效应的金融市场中的投资组合管理问题。为了刻画上述三个问题的解，我们将研究由马氏链驱动的含有随机终端时间的倒向随机微分（差分）方程，一类新的倒向随机差分方程以及倒向随机Volterra积分方程。

当决策者面临一个长期决策时，往往需要考虑决策过程中外部环境的变化而导致状态过程的变化。马氏链是文献中常用来刻画外在环境状态的数学工具。本项目围绕马氏链驱动的模型，主要研究了下面几个问题：. （一）研究了当状态过程是由马氏链调节的扩散过程时的时间不一致性随机控制问题。该问题中状态过程的参数，表现泛函中的跨期费用函数以及终端费用函数都依赖于马氏链的初始状态。通过研究一个具有随机到达博弈者的多人微分博弈问题，在适当的条件下，我们得到了该时间不一致性问题的均衡HJB方程，并且讨论了该方程解的存在唯一性。此外，假设金融市场的参数以及决策者的风险厌恶、贴现率均依赖于外在的环境因素，我们研究了最优消费-投资问题。在幂、对数和指数效用函数下，得到了时间一致性均衡策略以及简单策略的显示解。. （二）在随机系数模型下，我们讨论了均值-方差资产-负债管理问题与投资-比例再保险问题的时间一致性开环均衡策略。我们给出了开环均衡策略的充分条件。并利用倒向随机微分方程组解来表示开环均衡解以及均衡值函数。此外，我们还在非马尔可夫机制转换模型下研究了均值-方差投资组合问题的预先承诺最优解以及时间一致性的开环和线性闭环均衡解。类似的，我们给出预先承诺最优解以及两类均衡策略的充分条件，并且利用由马氏链驱动的倒向随机微分方程组的解来刻画最优策略。. （三）考虑到保险人可以通过控制卖出的保单数量来控制自己的风险或债务，本项目在马尔可夫机制转换模型以及隐马氏链模型下考虑了最优分红与债务比问题。利用上-下解以及粘性解的方法证明了相应HJB方程的解的存在唯一性。. （四）考虑了两类由马氏链驱动的倒向随机Volterra 积分方程。得到了方程的解的存在唯一性以及若干比较定理，并且将结果应用于线性-二次控制问题以及时间不一致性的风险度量问题。. 此外，本项目还研究了自激阀值模型下的最优投资-消费-保险策略以及退休人员进入养老护理机构的最优策略。