基于复平面上性质良好的复小波函数问题的研究

Nowadays, the research on complex wavelets has been an active research branch in wavelet analysis. Its applications involve many areas in natural science and engineering technology. This project studies the related complex wavelets based on complex plane. First, the definition of refinement equation on complex plane is given, and the properties of the corresponding refinable function are discussed, such as compactly supported, orthogonality, conjugated symmetry, smoothness, stability. Second, the wavelets with general dilation matrix in R^2 can be studied by utilizing the complex wavelets on complex plane. Finally, several algorithms for constructing the complex wavelets (frames) with desired properties are derived and the superiority of complex wavelets compared to real wavelets on the application are discussed. The obtained results are also extended to practical application. The research project will further broaden and deepen the research on wavelet theory and also be useful for the practical applications.

目前，复小波问题的研究已逐渐成为小波理论分析研究的热点问题，其应用涉及自然科学与工程技术的许多领域。本项目拟提出从复平面的角度上来研究相关的复小波函数的性质及其构造。首先，给出复平面上定义的细分方程，并围绕该细分方程讨论相应的细分函数的相关性质，比如紧支撑性、正交性、共轭对称性、光滑性、稳定性等；其次，利用本项目提出的复小波问题进一步研究R^2上具有较一般伸缩矩阵的二元小波函数的构造，并讨论其相应的性质；最后，提出有效合理的算法，构造性质良好的复小波（框架），研究复小波（框架）相对于实小波（框架）在应用上有何优势，并将所取得的成果进一步推广到实际应用中。该研究的开展将进一步拓展小波理论研究的广度和深度，且在实际中具有应用意义。

本项目主要针对小波分析的研究热点，考虑从复平面上研究复小波函数的相关理论及应用。首先，基于小波分析研究的理论方面，提出了一类复平面上不可分正交复小波及高维多带小波紧框架的显式构造算法。其次，基于小波分析研究的应用方面，将小波理论分别应用于汽车的滑移率控制、信号峰检测（重叠峰滤波）、网络控制以及图像处理等相关问题的研究。一、针对汽车制动控制系统，研究了基于模糊小波神经网络算法的汽车滑移率问题，通过采用模糊小波神经网络估计系统模型的非线性、时变不易获知的部分，构造等效控制的滑模控制算法，实现汽车制动过程的期望滑移率到达。二、针对信号峰检测问题，通过对高斯函数锐化并与信号进行卷积，提出一种具有噪声免疫力的信号增强方法——改进峰锐化方法。该方法不仅对噪声具有免疫力，同时处理过程稳定、快速，能成功锁定每个信号峰位置。三、针对信号量化环境下的连续时间系统，分别提出并研究了基于滑动扇区技术、监督技术以及分散自适应技术的控制设计方案，有效消除了传统方法无法避免的抖振问题、模型不确定问题以及编解码不匹配问题等。四、针对医学图像处理问题，讨论了具有拓扑结构特性的稀疏编码特征基础上的细胞形态分类识别问题，建立了一种具有连续特性的拓扑结构稀疏编码特征；并在图像去燥方面，分别引入分数阶矩与广义质心的定义，利用分数阶矩给出仿射不变量的构造以及利用广义质心给出仿射变换参数恢复算法，以实现较好的抗噪性能。