乘性非高斯稳定噪声下的一类双尺度系统的平均原理及应用

Two-time scales dynamical systems driven by non-Gaussian noises have a wide range of applications in life science, material science, finance and so on. This project is devoted to averaging principle and applications for a class of two-time scales systems under multiplicative non-Gaussian stable noises. Firstly, we will establish and develop some new methods and tools to obtain the low-dimensional effective systems for two-time scales dynamical systems under multiplicative non-Gaussian stable noises, and discuss the relationship between low-dimensional effective systems and slow components of original systems. Secondly, the results will be applied to synchronization problems of coupled stochastic systems, and it will be shown that the synchronization of dissipative systems persists when they are disturbed by multiplicative non-Gaussian stable noises no matter how large the intensity of the noises. Finally, the results will be applied to nonlinear filtering problems for a class of two-time scales systems under multiplicative non-Gaussian noises, and it will be shown that the nonlinear filters of original systems converge to the filters of our low-dimensional effective systems under the same observation systems. Therefore, the research of this project will provide theoretical and methodological support for such problems in our life as stock market analysis, orbit calculation of aerospace engineering and weather forecasting and so on.

非高斯噪声驱动的双尺度动力系统在生命科学、材料学及金融学等领域有着广泛的应用。本项目致力于乘性非高斯稳定噪声下的一类双尺度系统的平均原理及应用。首先，建立和发展一些新的方法和工具来获得乘性非高斯稳定噪声下的一类双尺度系统的低维有效系统，讨论低维有效系统和原系统的慢分量之间的关系。其次，将研究结果应用到耗散随机动力系统的同步化问题中，拟证明无论噪声强度多么大，耗散系统的同步化现象都持续存在。最后，将研究结果应用到非线性滤波问题中，拟证明在同样的观测系统下，原系统的非线性滤波收敛到低维有效系统的滤波。因此，该项目的研究将为股票市场分析、航天工程的轨道计算及天气预报等实际生活中的一些问题提供理论和方法上的支持。

非高斯稳定过程驱动多尺度动力系统的动力学行为方面研究受到广泛关注，由于多尺度随机动力系统的解常常与非局部方程之间有紧密联系，使得我们可以借助非局部方程来研究多尺度随机系统的平均原理问题。鉴于非局部方程具有奇异性，并且在边界处正则性较差，使得相关问题的处理变得较为复杂。本项目主要关注的是借助于非局部方程来研究非高斯稳定过程驱动多尺度动力系统的动力学行为，目前得到部分结果，主要包括，(1)基于伴随算子方法得到乘性Levy过程驱动的Fokker-Planck方程具体形式，并提出求解该类方程的有效数值格式，同时将其应用于非线性滤波问题;(2)考查tempered稳定Levy过程驱动下非局部方程的平均逃逸时，发展出相应的数值格式，并推广到二维情形，并且考虑相应Fokker-Planck方程的解的存在唯一性，提出相应非局部方程的数值算法，分析了格式的收敛性; (3)对稳定过程驱动多尺度随机系统发展了投影积分法，分析了算法的强收敛性，并用数值算例验证了方法的有效性; (4) 研究了McKean-Vlasov 随机微分方程的信息上界问题，开发了一个信息理论框架来量化McKean-Vlasov随机微分方程解的概率分布的信息上界。 这些结果使得我们对非高斯稳定过程驱动多尺度动力系统有了更深的认识，为后续进一步研究提供了一定的理论和数值基础。