Artin-Schelter正则代数与Poisson代数的形变量子化

Artin-Schelter regular algebras(AS-regular for short) were introduced by Artin and Schelter in 1987. Since then, it attracts much attention for its wide range of applications in noncommutative algebraic geometry and mathematical physics. Recently, many researchers generalized this notion. Etingof and Ginzburg introduced the concept of twisted Calabi-Yau algebras, Minamoto and Mori defined generalized AS-regular algebras. Poisson algebras are an important class of commutative algebras. It is used to describe the algebraic structure of smooth functions on Poisson manifolds. It is also a main object in the study of quantum mechanics. In this project，we explore the homology theory for generalized AS-regular algebras. We also relate the twisted Poincare duality between Poisson homologies and cohomologies of some Poisson algebras to the twisted Calabi-Yau property of their deformation quantizations. Under some condition, we explicitly establish a link between these two properties.

Artin-Schelter 正则代数(或AS-正则代数)是由 Artin和 Schelter在1987年提出的,并因其在非交换代数几何以及数学物理领域的广泛应用而备受关注. 近来,很多学者推广了AS-正则代数的定义：Etingof 和Ginzburg提出了twisted Calabi-Yau代数的概念, 而Minamoto和Mori则提出了广义AS-正则代数的概念. Poisson 代数是一类重要的交换代数, 它被用来描述Poisson流形上光滑函数全体的代数结构, 是量子力学的一个主要研究对象. 本项目一方面研究广义AS-正则代数的同调理论,推广AS-正则代数的相关结果；另一方面将AS-正则代数与Poisson代数联系起来, 主要考察Poisson代数的同调和上同调之间的对偶,及其形变量子化代数的twisted Calabi-Yau性质. 在一定条件下, 建立了这两者之间的联系.

本项目主要研究了Artin-Schelter正则代数和Poisson代数之间的联系.首先: 在五维Artin-Schelter正则代数分类的基础上, 本人与合作者对其中的一类——extremal 代数进行了具体研究, 计算了该类代数的Nakayama自同构, 从而给出了该类代数是Calabi-Yau代数的充要条件,更进一步, 计算并证明了该类代数共有6族点模(在同构的意义下).其次:本项目还集中研究了Poisson代数的模导子, 以及Poisson代数的Ore扩张和Poisson代数的张量积等, 给出了这些Poisson代数的模导子的具体公式, 从而刻画了这些Poisson代数的unimodular性质. 在此基础上, 本项目将Artin-Schelter正则代数的同调对偶理论与Poisson代数的对偶理论进行了对比, 证明了n元多项式Poisson代数A上也存在twisted Poincare 对偶, HP^i(A)\cong HP_{n-i}(A, A_D), \forall i\in N; 即 A的Poisson上同调与twisted Poisson 模 A_D的Poisson同调之间存在Poincare 对偶, 这里的D就是Poisson代数A的模导子. 更进一步, 本项目还将该结论推广至一般的具有平凡典范丛的仿射光滑 Poisson 代数上, 并考虑该类Poisson代数的上同调, 证明了如果这类Poisson代数是unimodular, 则它的上同调是一个Batalin-Vilkovisky 代数. 最后，本项目还考虑了Poisson代数的形变量子化, 给出了一种构造Poisson代数的新方法——double Poisson Ore 扩张, 并研究了它的形变量子化, 从而给出了一类四维正则代数的另一种实现方法.