临界点理论及对非线性微分方程组的应用

本项目研究三个方面的问题：（1）利用新的方法研究临界点存在性理论并用之讨论Hamiltonian系统在不同条件下解的存在性；（2）进一步研究弱收敛意义下的临界点理论并用于讨论非线性Schrodinger方程组解的存在性、收敛性及连续性；（3）利用上述新的临界点理论研究Kirchhoff型拟线性椭圆偏微分方程组的解在整个空间上的存在性、多重性及几何性质。上述都是非常重要的非线性问题，在光学、量子统计物理学、生态学、流体力学等领域有着深刻的背景。本项目在已有工作的基础上，拟利用极限泛函弱收敛意义下的广义临界点理论结合新近发展的极大极小及对泛函最小能量的细致估计、逼近方法等来研究这些问题。这些问题的解决不仅会推动临界点理论本身的发展，也为研究非线性微分方程组解的存在性和收敛性提供了新的方法。

本项目研究四个方面的问题：（1）具有临界增长的薛定谔方程正解的存在性及集中性;（2）非局部Kirchhoff型拟线性椭圆偏微分方程的变号解的存在性和多重性；（3）具有混合非线性和双共振的椭圆问题的解及带有正参数的局部椭圆问题解的存在性;（4）一类二阶哈密顿系统的周期解和同宿轨的存在性和多重性。上述都是非常重要的非线性问题，在生态学、天体力学、量子力学和流体力学等领域有着深刻的背景。本项目在已有工作的基础上，拟通过对拓扑方法、变分方法和拟线性双曲组的最新进展的学习，研究一阶和二阶非自治哈密顿系统的周期轨、次调和解、同宿轨和拟线性双曲组的经典解；结合变分方法、拓扑度理论和下降流不变集理论研究Kirchhoff型拟线性偏微分方程的变号解的性质。由于所研究的问题对应的能量泛函是没有紧性，也是强不定的，因而项目组成员还将致力于研究失去紧性的强不定泛函的临界点的存在性和多重性，进而发展相应的极小极大方法。