时间周期Lotka-Volterra系统的空间传播

In literature, Lotka-Volterra systems have been widely studied due to their significant importantance in modelling nature phenomena and illustrating the theory of monotone dynamical systems. The study of spatial propagation of time periodic Lotka-Volterra systems with competition and predator-prey nonlinearities is very hard due to the deficiency of semiflows and cooperative type comparison principle with the existence of multi time periodic solutions. The goal of this proposal is to investigate the spatial propagation of Lotka-Volterra systems with time periodic parameters by the theory of monotone dynamical systems, method of nonlinear functional analysis and the theory of partial differential equations. We will establish the theory of time periodic traveling wave solutions, asymptotic spreading formulated by both initial value problems and free boundary problems of Lotka-Volterra systems and the corresponding delayed systems. For the time periodic traveling wave solutions, we will formulate the minimal wave speed and the correlation with the corresponding initial value problems by generalized upper and lower solutions and techniques of dynamical systems. For the corresponding initial value problems, we shall estimate the asymptotic speed of spreading when the initial value has nonempty compact support and the spreading modes when the initial value admits special decay properties by comparison principle and the conclusions of nonautonomous equations. For the free boundary problems, we will modify models by changing the boundary conditions and study the corresponding asymptotic spreading by the comparison principle. The proposed work will develop the spatial propagation theory of non-cooperative systems and delayed systems without quasimonotonicity by some techniques in monotone dynamical systems and functional differential equations including squeezing technique and flucation method, in particular to present some threshold results.

Lotka-Volterra系统是描述自然现象的重要模型，也是单调动力系统理论的重要研究对象。对于时间周期的Lotka-Volterra竞争、捕食者-食饵系统，由于解半流和合作型比较原理的缺失以及多个时间周期解共存，因而对应的空间传播理论研究有其困难之处。本项目以时间周期Lotka-Volterra系统及相应时滞系统的时间周期行波解、初值问题与自由边界问题描述的渐近传播为研究对象。在行波解研究中，以建立时间周期行波解最小波速以及行波解与相应初值问题的关联为目标。在初值问题描述的渐近传播研究中，以估计具有紧支集的初值、不同衰减条件初值对应的渐近传播模式为具体目标。对于自由边界问题描述的渐近传播，将从模型描述到传播速度估计进行系统考虑。本项目的亮点在于将引入非单调系统、泛函微分方程研究中使用的压缩矩形思想、波动方法等发展非合作系统、非拟单调时滞系统的空间传播理论，刻画其中蕴含的阈值特性。

根据项目申请书以及计划书，本项目以非合作时间周期系统行波解的最小波速、渐近传播速度、自由边界问题等为主要研究目标。具体研究中，我们主要围绕时间周期系统的空间传播这一主题，以行波解、渐近传播为主要指标，展示系统的动力学性质。首先对于行波解问题，我们建立了一些经典系统的行波解存在性与不存在性并且对于最小波速时候行波解存在性和精确渐近行为也给出了结果，这类系统包括我们在项目申请书中明确列出的竞争系统和非拟单调时滞方程，以及两类捕食者-食饵系统。我们对这几类系统的研究结果表明对于最小波速时候的行波解，其渐近行为是明显不同于大波速情形的，有些关于行波解的研究结果即使对于常系数情形也是新的。在渐近传播理论研究中，我们给出了一些非合作系统定义的未知函数的渐近传播速度，体现了线性部分以及复杂非线性部分的作用。具体研究对象包括项目申请书提到的竞争系统和非拟单调时滞方程，以及捕食者-食饵系统中对于捕食者入侵食饵栖息地的估计，特别是对于捕食者-食饵系统的研究，相应结果还是非常少的。对于自由边界问题，我们借助于一些特征值理论和单个方程研究结果，展示了一些初步的性质，其中包括耦合非线性项可能改变有关持久或灭绝的阈值。此外，为了能更好的理解行波解和渐近传播这些概念，我们还考虑了一些典型常系数非合作系统的空间传播理论，这些系统和研究结果包括非单调双稳型（针对相应无时滞ODE定义双稳）时滞反应扩散方程的持久与灭绝、具有状态依赖时滞反应扩散方程的行波解最小波速、积分差分方程的行波解与渐近传播等，在这过程中给出了一些重要阈值并发展了一些研究方法。总体来讲，通过发展一些新的技巧和方法，我们对于预定的研究问题给出了比较满意的研究结果，完成了预定研究计划。