图的规范拉普拉斯谱

In order to investigate the properties of graphs, there are various matrices that are naturally associated with graphs, such as the adjacency matrix, the Laplacian matrix and the normalized Laplacian matrix etc., are introduced. The eigenvalues of the normalized Laplacian matrix relate well to other graph invariants for general graphs in a way that other definitions (such as the eigenvalues of the adjacency matrix or the eigenvalues of the Laplacian matrix) often fail to do. The advantages of this definition are perhaps due to the fact that it is consistent with the eigenvalues in spectral geometry and in stochastic processes.This project will investigate systemically the eigenvalues of the normalized Laplacian matrix of graphs. It consists of the following four aspects: 1. Study the largest, the second largest and the second smallest eigenvalues of the normalized Laplacian matrix; 2. Study the relation between the eigenvalues of the normalized Laplacian matrix and the invariants of graphs; 3. Study the relation among the adiacency matrix, the Laplacian and the the normalized Laplacian matrix and their corresponding eigenvalues; 4. Study the eigenvalues of the normalized Laplacian matrix of a class of graphs. Through the study of the topic, some new research methods and ideas will be given and a series of results on several aspects of the eigenvalues of the normalized Laplacian matrix will be obtained.

在图论中，为了研究图的性质，人们引进了各种各样的矩阵，如邻接矩阵，拉普拉斯矩阵、规范拉普拉斯矩阵等，这些矩阵与图都有着自然的联系。由于规范拉普拉斯矩阵的特征值与谱几何和随机过程中的特征值是一致的，因此使得它的特征值比邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的特征值能和图的不变量有着更好的联系。本课题拟对规范拉普拉斯矩阵的特征值进行系统的研究，主要包括如下四个方面：1．研究规范拉普拉斯矩阵的最大、第二大及次小特征值；2. 研究规范拉普拉斯矩阵的特征值与图的不变量之间的关系；3. 研究规范拉普拉斯矩阵、邻接矩阵、拉普拉斯矩阵三者之间及其特征值之间的关系；4. 研究某些特殊图类的规范拉普拉斯矩阵的特征值。通过对该课题的研究，能够在研究方法和思想上有所创新，在图的规范拉普拉斯矩阵特征值的多个方向上得到系列的结果。

在图论中，为了研究图的性质，人们引进了各种各样的矩阵，如邻接矩阵，拉普拉斯矩阵、规范拉普拉斯矩阵等，这些矩阵与图都有着自然的联系。由于规范拉普拉斯矩阵的特征值与谱几何和随机过程中的特征值是一致的，因此使得它的特征值比邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的特征值能和图的不变量有着更好的联系。本课题对规范拉普拉斯矩阵的特征值进行了系统的研究，主要包括如下四个方面：1. 研究规范拉普拉斯矩阵的最大、第二大及次小特征值；2. 研究规范拉普拉斯矩阵的特征值与图的不变量之间的关系；3. 研究规范拉普拉斯矩阵、邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、无号拉普拉斯矩阵四者之间及其特征值之间的关系；4. 研究某些特殊图类(如树、单圈图等)的规范拉普拉斯矩阵的特征值。通过对该课题的研究，能够在研究方法和思想上有所创新，在图的规范拉普拉斯矩阵特征值的多个方向上得到系列的结果.