动物体节分节的反应扩散模型及其全局分歧分析

体节是脊椎动物在胚胎发育过程中形成的沿身体前后轴排列的中胚层（PSM）细胞团。随着胚胎的发育，体节会逐渐分化为骨骼和肌肉等组织。在过去的30多年中，体节形成的机理一直是生物数学领域的研究热点，科学家们提出了许多数学模型来描述体节形成过程中的各种现象。然而随着越来越多的与体节形成相关的基因被发现，需要更加精确的数学模型来解释一些新的问题。比如，分节时钟是怎么开始工作的？本项目旨在以最新的生物数据为基础，构建一个描述分节时钟信号传播的反应扩散模型。此模型考虑了FGF信号的浓度梯度对时钟信号的影响，通过数值模拟和全局分歧等方法，揭示时空非均匀介质上周期孤立波解产生的机理，对解释分节时钟及其他生物体中信号的发生机制有重要的意义。本研究还从理论的角度分析了空间非均匀环境下斑图形成的一种新方法。

体节是脊椎动物在胚胎发育过程中形成的沿身体前后轴排列的中胚层（PSM）细胞团，体节形成过程包括了生命发育的很多特征，因此体节形成的机理一直都是生物和数学等多个领域的研究热点。从上世纪70年代以来，体节形成的数学模型不断被提出。由于缺乏足够的实验数据，早期的数学模型主要侧重于模拟体节形成的图式。随着体节形成分子机理的深入研究，数学家们根据基因之间的反馈关系建立了一系列ODE和PDE的模型，这些模型主要描述了细胞内Notch信号通路相关的基因之间的相互作用。但是都没有解释一个很重要的问题，在什么条件下基因会开始振荡，也就是时钟是怎么被激活的？最新的实验数据表明，不仅是Notch信号通路的基因，FGF和Wnt信号通路的基因也参与体节时钟的形成，其中FGF信号的非均匀性起到了激活时钟的作用。那么FGF信号激活时钟的机理是什么呢？目前还没有数学模型来解释这个问题。.本项目利用三参数反应扩散方程阐明了非均匀FGF信号激发时钟信号的机理。我们用数值和解析的方法研究了非均匀介质中三参数反应扩散方程孤立波的传播方式。通过数值模拟我们发现，在空间非均匀环境中，三参数反应扩散模型能自发的产生周期孤立波解，而且其传播方式与时钟信号波十分相似，孤立波解会在原地振荡以后再匀速向前传播。与以往的体节形成模型不同，这种周期孤立波解的产生不需要外力扰动，这一点符合生物体的自组织特性。我们注意到在体节形成的过程中，FGF和Wnt信号浓度在PSM中呈梯度分布，并且时钟信号波周期性的在PSM中传播，因此可以把体节形成的过程理解为波在非均匀的介质上传播过程。.我们还研究了二维非均匀空间中气体放电模型的动力学特性，模拟了二维空间中孤立子从不同角度与非均匀边界进行碰撞的过程。在二维空间中随着自由度的增加，细微扰动可以使孤立子的轨道发生迁移，从而观察到如：旋转、分裂等新现象。为了解析二维非均匀空间中孤立子的动力学特性，我们利用Gas-Discharge模型模拟了孤立子与非均匀边界正面碰撞的过程，观察到了反射、穿过和分裂等现象的变迁，通过对分水岭解的稳定性解析，解释了这些现象产生的机理。最后利用Pseudo Arc-length方法获得了参数空间中解的全局分歧图，阐明了控制不同状态变迁的分水岭解之间的联系。