共型流李代数的结构和表示

Conformal-current type Lie algebras play an important role in string theory,2D conformal field theory and integrable symstems. In general,they contain the Virasoro algebra(conformal algebra) as a subalgebra and a ideal generated by the tensor density modules. The twisted Heisenberg-Virasoro algebra,the Schr?dinger-Virasoro algebras,the Galilean-Virasoro algebras and some Lie algebras of Block type can be regarded as special examples of the conformal-current type Lie algebras. In this program, we plan to study the structures and representations of the conformal-current type Lie algebras. Firstly，we shall compute their cohomology groups and characterize the related algebraic properties. Secondly, we shall construct the irreducible moudles over the conformal-current type Lie algebras and explore their structure. Thirdly, we shall classify the irreducible modules with some special properties. Finially, we shall construct and study the supersymmetry version of the conformal-current type Lie algebras.

共型流李代数对于物理中的弦论、二维共型场论和可积系统的研究起着重要的作用。它们通常包含Virasoro代数（共型代数）作为子代数和一个由其密度张量模生成的理想。如扭Heisenberg-Virasoro代数、Schr?dinger-Virasoro 代数、Galilean-Virasoro代数、某些Block型李代数等都可以看作共型流李代数的特殊例子。我们拟对共型流李代数的结构和表示展开系统研究。首先，计算共型流李代数的上同调群，从而刻画其基本的代数性质；其次，构造共型流代数的不可约表示，并刻画这些表示的结构；然后分类共型流李代数的某些具有特殊性质的不可约表示；最后研究共型流李代数的超对称推广。

本项目研究了几类与Virasoro代数有关的具有半直积结构的无限维共型流李代数的结构和表示，主要包括平面Galilean共形代数（PGCA），超对称Galilean共形代数(SGCA)， W（a,b）型李代数以及超共形代数等共型流李代数的结构和表示，取得了一定的进展：(1) 对一般的具有半直积结构的李(超)代数的低维上同调群进行了研究，得到了2-上同调群的一种分解；给出了一般的具有半直积结构的李代数的自同构群的一种分解；确定了PGCA、SGCA、Spectrum-generating超代数、W（a,b）型以及N=2超代数的子代数的结构性质，如导子，（Leibniz）中心扩张及其自同构群的结构等; （2）利用Balinsky-Novikov超代数，给出了SGCA的泛中心扩张的一种自然实现; 利用这种实现，建立了此代数与顶点超代数之间的联系,并得到了此代数相关的Verma模的结构；（3）确定了李代数W（2,2）上的Poisson结构，并得到了Virasoro代数上一般的非结合的Poisson结构。