一般状态空间马链蒙特卡罗的集中不等式

Markov chain Monte Carlo (MCMC) algorithms on general state space have important applications in applied probability, Bayesian statistics, machine learning, image and signal processing, economics and finance and so on. In these applications, it’s essential for evaluating the performance of algorithms to obtain non-asymptotic quantitative properties of MCMC. A powerful tool to analyze these non-asymptotic quantitative properties is the concentration of measure. This project is to investigate them from two perspectives: one is from the fundamental Markov chain, and the other is from Metropolis-Hastings algorithms and Gibbs samplings associated with statistical models. To this end, this project mainly contains the following contents: concentration inequalities for general underlying Markov chains (forming MCMC algorithms); concentration inequalities for Metropolis-Hastings algorithms; concentration inequalities for Gibbs samplings based on statistical models.

一般状态空间的马链蒙特卡罗算法在应用概率、Bayesian统计、机器学习、图像信号处理、经济金融等领域有重要的应用。在这些应用中，马链蒙特卡罗算法的非渐近定量性质对于评价算法的表现是极其重要的。分析这些非渐近定量性质的一个有力工具是测度集中理论。本项目将从两种角度来研究：(1)将研究重点提升到马氏链层面来；(2)结合统计模型研究两大类马链蒙特卡罗算法（Metropolis-Hastings 算法、Gibbs 算法）。为此本项目将要研究以下三个内容：构成马链蒙特卡罗算法的根本马氏链的集中不等式；Metropolis-Hastings 算法的集中不等式；基于统计模型的Gibbs 算法的集中不等式。

一般状态空间的马链蒙特卡罗算法在应用概率、Bayesian统计、机器学习、图像信号处理、经济金融等领域有着重要的应用。该项目即是围绕着与一般状态空间马链有关的蒙特卡罗算法的理论研究。该项目利用Wasserstein距离与transport理论研究了相关的问题，并取得了以下几个主要进展和结果: (1)建立了一般状态空间马链的transport不等式，给出了它与大偏差、集中不等式之间关系的刻画，并应用到蒙特卡罗经验算法的误差概率。(2)研究了分块算法在Wasserstein距离下的显示收敛速度。(3)分别获得了不同扫描次序算法比如对称扫描算法、随机扫描算法的显示收敛速度。(4)获得了似然比检验的误差概率估计。这些结果的取得不仅为马链蒙特卡罗算法的具体实践提供了坚实的理论支撑，也为进一步的后续理论研究奠定了基础。