等离子体中Zakharov系统的能控性问题

This project aims to study the controllability of a class of nonlinear dynamic equations named Zakharov system in the plasma. Zakharov system is the nonlinear Schrödinger equation coupled with the wave equation with strong nonlinearity. It will be challenging to study the controllability of the Zakharov system due to the strongly coupled terms and superlinearity which leads to blowing up.. This project mainly studies the following two problems: (1) The exact controllability of the classical Zakharov system. We will find the controls by which the states of classical Zakharov system could be transferred to a given target before blowing up. (2) The local controllability of the dissipative Zakharov system. There are two states in this system, one is complex valued E related to the electric field, the other is real valued n related to the ion density. Through one real valued control on the wave equation part of the system, we will establish the local controllability results for dissipative Zakharov system with two states.. The study of controllability of Zakharov system will not only enrich the control theory for coupled system in mathematics but also provide necessary theoretical basis and reference for studying Langmuir wave, experiment design and practices.

本项目旨在研究等离子体物理学中一类非常重要的非线性动力学方程组Zakharov系统的能控性问题。Zakhaov系统由非线性Schrödinger方程和非线性波动方程耦合组成，强耦合性和超线性导致的爆破现象使得该系统能控性的研究具有挑战性。. 本项目拟研究以下两类问题：（1）经典Zakharov系统的精确能控性。寻找适当的控制，使得系统的状态在爆破时间之前提前达到预设目标；（2）耗散Zakharov系统的局部能控性。通过波动方程部分施加实值控制函数，对部分目标，实现关于复值E（与电场相关）和实值n（与离子密度相关）两个系统状态的控制。. 对Zakharov系统能控性问题的研究，不仅能从数学上丰富耦合系统控制理论，也为等离子体中Langmuir波的理论研究、实验设计、实际应用提供必要的理论依据，具有一定的参考价值。

本项目所考虑的Zakharov系统是长期以来被数学家、物理学家广泛关注的一类非线性耦合方程组，该系统研究工作一直是等离子体物理学中的热点问题。本项目主要研究成果包括：一、我们给出了带有外部磁场控制的Zakharov系统爆破解的存在性，并建立了线性化的Zakharov系统非平凡稳定态以及该稳定态附近的局部能控性结果，从而从正反两个方面部分回答了经典Zakharov系统的能控性问题。二、对三维Zakharov系统，构造了一种新的形式的渐近自相似爆破解并建立了存在性理论。三、本项目还关心分数阶系统的最优控制结果，引入一个新型的可以用来处理奇性问题的Liapounoff定理，并用该定理证明了这类非线性系统最优控制问题所满足的Pontryagin最大值原理。. 本项目考虑了耦合系统的控制问题，特别关心控制在系统爆破时间前对解行为的影响。对Zakharov耦合系统控制问题的研究，不仅能从数学理论上丰富系统控制理论，也能对等离子体中Langmuir波的理论研究、实验设计、实际应用提供必要的理论依据，具有一定的参考价值。