图的特征值组合与拓扑指数的研究

图的邻接矩阵，Laplacian矩阵，无符号的Laplacian矩阵是三类非常特殊的实对称矩阵，是图谱理论研究中关注的比较多的几类矩阵。对它们的研究是代数图论和组合矩阵论研究非常重要的一部分,是矩阵理论和图论的结合和推广。这三个矩阵的一些特征值的组合中，有些是我们熟知的拓扑指数拥有较强的化学和物理应用背景，有些又具有较强的理论研究价值，因此成为近年来数学家们研究的热门课题。图谱的研究是组合矩阵论和代数图论的一个公共研究领域，特征值的方法和技巧是我们研究其它参量较为实用的方法和手段。经过多年的研究，图谱理论已有较好的发展。本项目主要利用图谱理论,图的一些特殊结构和组合矩阵理论去研究图的能量，Estrada指数,图的Laplacian能量，谱宽，和无符号Laplacian矩阵的谱宽，从不同的角度去更为深入的研究这些特征值组合，得出一些更一般的结果，解决一些新问题，一些猜想和公开问题。

在这个课题研究中，我们利用图的能量给出了图的化学能量的界，并给出了达到界的充要条件。确定了在单圈图里分别具有具有最大和最小的图；我们完全解决了由Caporossi等人提出了最小能量图猜想在e=n+1和e=n+2时正确性，确定了拟树里具有最小能量图恰好是猜想中的极图。我们给出了图的关联能量变大（或变小）的图的转换，利用能量与它的关系，刻画了在单圈图和双圈图类里，关联能量最大和最小的图，确定了给定团数的具有最小关联能量的图，给定悬挂点数的具有最大关联能量的图以及具有最小关联能量的树; 给出了利用比较多项式的方法来比较两个图的关联能量的一种逆序的方法，并且利用这种逆序关系确定了在给定色数具有最大关联能量的图。. 图的LaplacianEstrada指数方面，在给定图的边数和顶点数，我们得到了连通图的LaplacianEstrada指数的上界，并刻画了达到界的极图。我们进一步刻画了边数较小时LaplacianEstrada指数最大的连通图，并确定了给定着色数的具有最大LaplacianEstrada指数的图。. 图的离心连通度指数和图的离心距离和指数 这两个指数与图的Wiener指数密切相关，并比Wiener指数具有更好的物理和生物性质。我们分别给出了给定边数和顶点数，给定边数，顶点数和直径，以及给定顶点数和直径的具有最小的离心连通度指数的下界,并刻画了相应的极图。我们还给出了具有最大离心距离和指数的树，刻画了圈较少时具有最大离心距离和指数的图。.