模糊拓扑在拟阵研究中的应用

拓扑和拟阵虽然有两种不同的结构，但是它们却有许多共同的特征，对于它们的模糊化处理不仅有重要的理论意义，而且也有很大的应用价值。本项目拟做如下两方面的内容：(一)以L-模糊拓扑的L-模糊闭包算子为基础，探讨L-模糊度量空间中L-模糊闭包算子和L-模糊内部算子的表现形式，并用之处理与L-模糊度量相协调的高阶分离公理，为L-模糊拓扑的进一步发展和完善提供合适的L-模糊度量模型.(二)借鉴L-模糊拓扑的L-模糊闭包算子的研究方法，探讨(L,M)-模糊拟阵中(L,M)-模糊闭包算子(其包含两种特殊情形,即模糊化闭包算子和L-闭包算子)公理，给出刻画(L,M)-模糊拟阵的各种公理，研究三种模糊拟阵情形对应的模糊化几何格、L-几何格和(L,M)-模糊几何格的公理与性质，建立(L,M)-模糊拟阵理论较为基本的理论框架，为拟阵进一步应用到模糊优化和模糊线性规划中奠定理论基础。

在本项目中，我们完成了以下两部分工作:. (一) 在已有的L-模糊度量理论基础上，完成了本项目规划任务一的研究工作.并借助于(L,M)-模糊闭包算子和(L,M)-模糊内部算子，进一步推广了L-拓扑学中的点式度量理论到更为一般地(L,M)-拓扑空间中，引入了(L,M)-模糊度量空间的概念，使得我们能够从一个(L,M)-模糊伪拟度量空间出发，去诱导一个(L,M)-模糊拓扑.进而引入了与(L,M)-模糊度量相协调的高阶分离公理，研究了(L,M)-模糊度量空间的正则性与正规性. 证明了在(L,M)-模糊度量空间中各种分离公理的等价性.. (二) 在项目负责人已有的$M$-模糊化拟阵，L-拟阵，(L,M)-模糊拟阵理论研究成果的基础上， 借鉴模糊拓扑学的研究方法，将分明拟阵的一些基本概念（如：相关集族、闭包算子(内部算子)、闭集(开集)、基集(圈集)、零化度、导算子、差导算子等）引入到M-模糊化拟阵中，得到了M-模糊化相关集族、M-模糊化闭包算子， M-模糊化内部算子、M-模糊化闭集族、M-模糊化开集族、M-模糊化基集、M-模糊化圈集、M-模糊化零化度、M-模糊化导算子、M-模糊化差导算子等概念，证明了它们与M-模糊化拟阵的相互等价关系.. 此外我们还研究了[0,1]-拟阵及可图和可表示的模糊化拟阵，证明了一个[0,1]-拟阵是等价于一个遗传的模糊pre-拟阵;一个完全的[0,1]-拟阵等价于一个Goetschel-Voxman模糊拟阵.. 另外，从范畴的角度系统地讨论了拟阵、模糊化拟阵、[0,1]-拟阵以及双模糊拟阵等四个范畴之间的关系. 在此基础上，研究了(L,M)-模糊拟阵范畴的余乘积，即(L,M)-模糊拟阵的(L,M)-模糊直和， 建立了M-模糊化拟阵、L-拟阵以及(L,M)-模糊拟阵理论的基础框架.. 本项目的研究成果证明我们的M-模糊化拟阵、L-拟阵和(L,M)-模糊拟阵理论不但具有重要的理论意义，也具有重要的实用价值.