拟紧致凯勒流形上的调和丛及其对应局部系的上同调群

Cohomology group is one of the most important invariant in algebraic topology, and it is an interesting object in topology. From the work of Deligne and Saito, we know the following: Let X be a quasi compact K?hler manifold and V be a polarizable variation of Hodge structure. The cohomology groups of X with coefficients in the local system associated to V can be computed by the logarithmetic DeRham complex. There are two filtration on this complex: weight filtration and Hodge filtration which induce a mixed Hodge structure on the cohomology group. A byproduct of this theory is that these cohomology groups have the same dimension as the Higgs cohomology groups. In our project, we will study the following problems: 1. we want to investigate whether the cohomology groups of the local system associated to V have the same dimension as the Higgs cohomology groups in the case when V is a harmonic bundle with some additional condiction. 2. In the case when V is a polarizable variation of Hodge structure, we want to study some unclear problems in the theory of mixed Hodge structure in the cohomology groups of the local system associated to V. 3. We also want to study the mixed Hodge structure of the cohomology groups of the local system associated to V over X when X is some kind of shimura varieties and V is some kind of polarizable variation of Hodge strucutre.

上同调群是代数拓扑学中的一个重要的不变量， 是拓扑学中重要的研究对象。 根据Deligne、Saito等人的工作，对于拟紧致K?hler流形，其上以带有极化variation of Hodge structure的local system为系数的上同调群有混合的Hodge结构，并由此可知该上同调群的维数和Higgs上同调群的维数相同。本项目研究主要内容包括：1、研究最后这条性质是否可以推广到拟紧K?hler流形更一般harmonic bundle。2、对于拟紧K?hler流形上的极化variation of Hodge structure的情况，研究其所对应的local system的上同调群的混合Hodge结构理论中一些未解决的问题。3、研究某些志村簇上某些具体的极化variation of Hodge structure 所对应的local system的上同调群的混合Hodge结构

本项目的重要研究对象就是上同调群，它是复几何和复代数几何中的重要的不变量。本项目就是主要围绕着这个展开，研究的内容包括：1、 某些志村簇上的某些具体的极化variation of Hodge structure对应的local system的上同调群的混合Hodge结构。2、 在admissible variation of mixed Hodge structure的情况，我们研究了perverse过滤和上同调群的混合Hodge结构的相容性。3、 在非Kahler流形的复结构形变过程中，Bott-Chern等上同调群维数变化的原因。4、 除了上同调群问题，本项目还研究了带tt* － 结构的Frobenius 流形的亚纯联络，它是极化variation of Hodge structure的一般化推广。就以上内容，本项目得到了以下重要结果：1、 弄清楚了Hilbert modular Variety其上所有非平凡不可约表示所对应的variation of Hodge structure的上同调群的混合Hodge结构，这是进一步研究别的志村簇上的variation of Hodge structure的上同调群的混合Hodge结构的基础。2、 证明了在admissible variation of mixed Hodge structure的情况， perverse过滤和上同调群的混合Hodge结构是相容的，揭示了perverse过滤的重要性质。 3、在非Kahler流形的复结构形变过程中，能产生Bott-Chern等上同调群维数变化的同调类延拓障碍，以及得到了这些障碍的计算公式。揭示了Bott-Chern等上同调群维数变化的原因，也为研究其他不变量提供了方法。 4、具体构造了带tt* － 结构的Frobenius 流形上两个平坦亚纯联络形式同构，揭示了二者在形式同构下的一致性，为研究该结构的分类问题打下基础。