复对称算子及其生成的代数

The study towards special classes of operators is an important part of operator theory, and plays a key role in many significant themes. We shall consider in this project complex symmetric operators (CSOs), which encompass many important special operators. CSOs are first introduced and studied by Garcia、Putinar、Wogen and their collaborators. Now there are still many unsolved problems on CSOs. In previous papers, we established some connections between CSOs and several topics in operator algebras, and then developed a C*-algebra approach to CSOs. In this project, we shall develop algebraic methods to describe the structure of CSOs; moreover, the theory of CSOs will be applied to the study of real structures and the generator problem for operator algebras. Firstly, we shall study the complex symmetric generator problem for operator algebras, and then develop the model theory of CSOs. Secondly, we shall explore real structures of operator algebras, including the existence, the description and conjugate classes of anti-automorphisms. Moreover, the generator problem for real C*-algebras will be studied, and new numerical invariants for C*-algebras will be introduced and studied. Thirdly, we shall study the reflexivity and the transitivity of non-selfadjoint algebras generated by CSOs.

特殊算子类研究是算子理论的一个重要组成部分, 也是算子论中许多问题取得进展和突破的重要手段. 我们将研究一类有广泛背景的特殊算子,即复对称算子. 这是由Garcia、Putinar、Wogen等人发起研究的一类特殊算子. 目前关于复对称算子仍有许多未解决的问题. 我们在前期工作中建立了复对称算子与算子代数中若干问题的联系, 进而发展出复对称算子研究的一个C*代数方法. 在本课题中我们将在算子代数的框架下发展复对称算子理论, 并研究C*代数实结构以及算子代数生成子问题. 首先, 我们将研究算子代数的复对称生成子问题, 利用算子代数的结构和分类理论发展复对称算子的模型理论. 其次, 我们将研究算子代数的实结构, 包括实结构的存在性、刻画、共轭分类、实C*代数的生成子问题等, 为算子代数引入具有复对称算子背景的新的不变量. 最后, 我们还将研究复对称算子生成的非自伴算子代数的自反、可迁等性质.

本项目主要致力于研究的复对称算子的代数方面. 已有工作揭示了复对称概念中隐含的代数信息，藉此发展出复对称算子研究的代数方法，取得了重要的进展. 受此启发，我们希望进一步发展复对称算子研究的代数方法, 寻找相关理论在算子代数研究重的应用...本课题的主要研究内容包括：(1)算子代数的复对称生成子问题; (2)C-对称算子构成的Jordan代数S_C; (3)C-斜对称算子构成的算子Lie代数O_C；(4)为发展随机Toeplitz算子理论，我们研究了Hardy移位的一个随机化模型...本课题取得的主要结果包括：..(a)解决了I型、properly infinite 型以及一大类有限von Neumann代数的复对称生成子问题。刻画了具有复对称生成子的本质正规算子单生成的C*代数； 对UHF 代数, AF代数，无理旋转代数以及C*代数的约化自由积代数，我们解决了复对称生成子问题.上述结果揭示了复对称算子的广泛性，丰富了复对称算子理论的代数方面...(b) 我们确定了S_C的Jordan理想及其对偶空间.刻画了S_C的Jordan自同构，证明其中的可逆元构成一个道路连通的稠密子集.在S_C中建立了Weyl-von Neumann-Berg对角化定理；建立了可约/不可约逼近定理；我们确定了S_C上乘法算子的谱. S_C又称为Harmitian型Cartan因子，与有界对称域的分类密切相关. 我们得到的上述结果是B(H)中经典结果的复对称对应物，丰富了Cartan因子的研究内容,为探索复对称算子理论在Cartan因子研究中的应用打下了基础...(c) 我们证明了O_C不是传递的，是hyperreflexive；确定了O_C的Lie理想及其对偶空间; 确定了O_C上Lie导子的谱.正交Lie代数O_C是一类经典的Lie代数,我们的结果完善了de la Harpe在上世纪70年代的结果...(d) 我们建立并研究了Hardy移位的随机对应物，即随机Hardy移位。我们确定了精细谱图形：谱、本性谱、指标函数、数值域；得到了完全的样本分类：相似、酉等价、近似酉等价、代数等价；刻画了不变子空间的结构: 自反性；刻画了动力学性质. 我们将随机的方法引入算子理论的研究，建立了系统的随机Hardy移位理论, 找到了发展随机Toeplitz算子理论的一个有效途径.