三次及混合型Linnik相关问题研究

The even Goldbach conjecture is one of the mathematical conundrums remains unresolved. To research on it, its derivative --Linnik problem plays a very important role. With the emergence of Zhang Yitang’s new ideas about the exponential sum estimation and Wooley’s new advances on Vinogradov mean value theorem, a new thinking about Linnik problem is important and necessary. The main purpose of this project is to research how to apply these new ideas and new developments to cube and hybrid Linnik related problems. To be specific, we will research on exponential sum estimation, Vinogradov mean value theorem, cube Linnik problem, a pair of integers represented as cube or hybrid primes and powers of 2, Diophantine approximation with cube or hybrid primes and powers of 2, etc. In addition, our further work will be about how to apply these new developments and new methods to the study of the distribution of prime numbers, as a follow-up of this project.

偶数的哥德巴赫猜想是至今仍未解决的数学难题之一，而Linnik问题作为哥德巴赫猜想的衍生问题在研究哥德巴赫猜想的过程中发挥着十分重要的作用。张益唐关于指数和估计的新思想和Wooley关于Vinogradov均值定理的新进展及一些数论中新研究的出现，给Linnik问题的研究提供了重要的思路。本项目主要研究如何将这些新思想和新方法应用于三次及混合型Linnik相关问题中以改进相关结果。具体研究内容包括：指数和估计、Vinogradov均值定理、三次型Linnik问题、一对整数表为三次及混合型素数和2的方幂问题、关于三次及混合型素数和2的方幂的丢番图问题等。此外，作为本项目的后续课题，我们还将研究如何将这些新思想、新方法的应用到素数分布的研究中去。

偶数哥德巴赫猜想是数论研究中至今未解决的难题之一，而Linnik问题作为哥德巴赫猜想的衍生问题， 在研究哥德巴赫猜想的过程中发挥着重要的作用。Linnik问题的研究主要用到了数论中的解析方法，包括了圆法、筛法、指数和估计、Vinogradov均值定理等重要的理论和方法。本项目主要研究如何将这些新思想和新方法应用于高次及混合型Linnik相关问题中以改进相关结果。具体研究成果包括：对Linnik问题中表一对整数为素数的混合次幂以及k个2的方幂的方程组问题进行了研究，并得到了较好的k值；对Linnik问题中表一对整数为一个素数，两个素数的平方以及k个2的方幂的方程组问题进行了研究，并改进了已有的结果；对Linnik问题中表一对整数为四个素数的平方以及k个2的方幂的方程组问题进行了研究，并改进了已有的结果；研究了除数均值问题并改进了已有结果；同时，在本项目的研究过程中，项目负责人在对新圆法的研究基础上，使用了一些创新性的方法，研究了双二次超曲面上有理点的分布，成功的得到了当变量个数大于35的时候Manin猜想成立，该成果发表在世界著名数学杂志Advances in Mathematics上。该成果相对已有的结论产生了重大的突破性改进，极大丰富了该类代数簇上有理点的分布的研究，从而对整个领域的进一步深入研究具有非常重要的意义。因此，本项目的研究内容和成果非常丰富，通过本项目的研究所产生的一些新思想，新技术对解析数论的研究具有十分重要的作用和意义。