一类带耗散的流体力学方程组的初边值问题

以可压缩Navier-Stokes 方程组和广义BBM-Burgers方程为典型代表的带耗散的流体力学方程组初边值问题整体解的存在性以及大时间性态的精细刻画这一研究课题一直是非线性偏微分方程领域所关注的焦点之一。由于这些方程所描述现象的复杂性、边界的出现而导致的一些新的非线性波现象（如边界层等）以及方程本身的高度非线性性，它们给数学工作者提出了许多挑战性的问题，因而吸引了许多著名的数学家的关注并取得了一系列突破性的进展。虽然如此，仍有许多重要的问题，诸如可压缩Navier-Stokes方程组内流问题中平面边界层解的非线性稳定性和解收敛到这一边界层解的衰减估计、内流问题强边界层解的整体非线性稳定性、外流问题中粘性激波的非线性稳定性以及广义BBM-Burgers方程初边值问题粘性激波的非线性稳定性等问题的研究还远未完善。本项目拟在我们前期工作的基础上围绕上述问题展开深入研究。

在承担项目期间，我们重点集中在带耗散的流体力学方程组比如广义BBM-Burgers方程、半平面和多维半空间上带阻尼的波方程的初边值问题解的整体存在性以及大时间性态的精细刻画，并取得了一些重要的研究成果。众所周知，对于广义BBM-Burgers方程，在非线性流函数严格凸的条件下，相应初边值问题单调边界层解的稳定性以及衰减估计已经有了很好的研究。但是该结果依赖于流函数的严格凸性。在此基础上，我们考虑了更一般的非凸流函数，得到了该初边值问题的单增强边界层解的整体非线性稳定性以及解收敛于该边界层解的衰减估计。针对半平面上带阻尼波方程的初边值问题，我们也同样考虑了非凸的流函数，得到了在初始扰动的小性条件下单增的强静态解的非线性稳定性及衰减估计。另外，我们考虑了多维半空间上带阻尼波方程的初边值问题。在前人的工作基础上，我们通过建立某些新的先验估计，在一些小性条件的前提下得到了平面波解的存在性、唯一性和衰减估计。 到目前为止，完成学术论文4 篇，其中在SCI 期刊上已发表2 篇，另外2 篇已投出待接受发表。