关于代数簇的Frobenius分裂的几个问题

Frobenius splitting is a widely investigated property in the study of algebraic geometry in positive characteristics. It rarely happens for a given algebraic variety to be Frobenius split. Those enjoying this property include toric varieties, flag varieties, Schubert varieties, etc. For a given Frobenius split variety and a vector bundle on it, much less is known whether this vector bundle is Frobenius split or not. Kumar, Lauritzen and Thomsen prove that the cotangent bundle of a flag variety is Frobenius split. The applicant proves the cotangent bundle of a toric variety is Frobenius split. It is the aim of this project to study whether the cotangent bundles of a partial flag varieties of type A and quadrics are (p-1)-th power Frobenius split or not and whether the horospherical varieties are Frobenius split or not.

在研究正特征的代数几何时，Frobenius分裂是被广泛考察的一个重要性质。具有Frobenius分裂性质的代数簇十分稀少。已知的具备这一性质的代数簇有toric簇、旗簇、舒伯特簇等。给定一个Frobenius分裂的代数簇和其上的一个向量丛，那么此向量丛是否也是Frobenius分裂的，对这一问题所知甚少。Kumar，Lauritzen和Thomsen证明了旗簇的余切丛是Frobenius分裂的。申请人证明了toric簇的余切丛是Frobenius分裂的。本项目拟研究A型部分旗簇和二次超曲面的余切丛是否是p-1次Frobenius分裂的，以及极限球簇是否是Frobenius分裂的。

正特征代数几何中，Frobenius分裂是一个被广泛考察的性质。具有这一性质的代数簇的几何和上同调满足许多良好的性质。本课题对一些特殊正特征的代数簇的Frobenius分裂性质进行了研究。这些代数簇包括正特征的三维二次超曲面的余切丛和光滑的toroidal极限球簇，我们证明了它们都是(p-1)-次Frobenius分裂的。这一成果为进一步研究更一般代数簇的Frobenius分裂性质铺平了道路。此外，作为本项目的另一个成果，我们在正特征的维数为n，n>1的射影空间上构造了一类秩为n+1的一致但非齐性的向量丛。这类向量丛在特征0时是不存在的。这个结果填补了在Elengwajg, Drezet, Ballico和Ein等人的工作中留下的一个空白，并为进一步研究射影空间上哪些一致toric向量丛具有Frobenius分裂性质提供了有用的信息。