关于奇性波的稳定性的理论研究

计划对高维双曲守恒律方程组的Riemann问题解中出现多个激波的非线性几何光学做出解答。对于高维的情况，由于问题的复杂性，现在仅只有Williams对于单个高维激波的情况进行了讨论，对于多个激波的情况，需要考虑边界及与高频波的干扰，这使问题的研究具有更高的难度，并且更切于实际背景。. 关于高维接触间断的稳定性工作更是非常有挑战性的，关键是此时的间断面（自由边界）是特征面，此时流场的旋度几乎是支集在间断面上的Dirac测度。关于二维接触间断在高频振荡波干扰下的稳定性的形式分析是Majda-Artola给出的，最近Coulombel-Gues研究了一个相关的线性化问题的数学理论，我们希望建立运用非线性几何方法来研究高维接触间断的稳定性和不稳定性理论。. 借助非线性几何光学方法，我们希望探讨一维、高维非线性Van der Waals流体力学相变边界的稳定性、相变和激波干扰的稳定性理论。

项目组成员首先建立了具有van der Waals状态方程的高维亚音速相变的存在性理论和非等温定常van der Waals 流体中高维相变的稳定性。在一个具有非单调背景态函数的流体中，即van der Waals 流体，具有不同特征的非线性波通常会出现：例如激波、中心稀疏波、接触间断以及相变。通过证明边界满足一致的Lopatinski条件，建立了亚音速相变在一维和高维摄动下，在Majda意义下的一致稳定性理论。.其次，借助于非线性几何光学方法，项目组成员也研究了具有时滞的一些非线性抛物偏微分方程系统解的持续性、稳定性、Hopf 分支和Turing 不稳。利用数值模拟去验证我们得到的理论结果。通过分别分析这些系统的动力学行为，我们得到来源于应用问题中的这些数学模型更清楚的时空动力学。希望给实际问题提供一些理论指导。.该项目的部分研究成果，已经正式发表7篇学术论文。正式录用1篇。