离散和超对称可积系统若干问题的研究

Discrete and supersymmetric integrable systems are the important and extremely active areas of research in the soliton theory. In this project, we investigate the applications of the Hirota bilinear method, Darboux transformation method and quasideterminant in the discrete and supersymmetric integrable system. In our research, our attention will focus on the following specific topics and problems: (1) Discretize integrable equations and supersymmetric integrable equations via the modified Hirota approach and study the integrable propertites such as soliton solution, Bäcklund transformations and Lax representation of the resulting discrete systems. (2) Construct the exact solutions including the N-soliton solution and N-lump solution of the discrete integrable systems by using the Hirota bilinear method and Darboux transformation method. (3) Apply the iterated Darboux transformation to construct the quasideterminant solutions of the supersymmetric integrable equations.

离散和超对称可积系统是孤立子理论中两大重要而且困难的研究课题。本项目的研究重点放在Hirota 双线性方法、Darboux 变换法和拟行列式在离散和超对称可积系统研究中的应用。主要研究内容包括以下三个方面：（1）用修正的 Hirota 离散化方法研究一些重要的孤子方程和超对称可积方程的可积离散化及其离散化系统的一些可积性质如孤子解、Bäcklund 变换和 Lax 对等。（2）利用 Hirota 双线性方法和 Darboux 变换法求一些离散可积方程的行列式或 Pfaffian 表示的精确解如N-孤子解，N-lump解等。（3）利用迭代的 Darboux 变换，构造超对称可积方程的拟行列式解。

本项目主要利用Hirota双线性方法、源生成方法、Gram行列式技巧及Casorati行列式技巧构造了带自相容源的修正的全离散KP方程、带自相容源的修正二维Toda晶格方程、带自相容源的半离散修正二维Toda晶格方程、带自相容源的修正的微分-差分KP方程，并给出了它们的Gram行列式和Casorati行列式表示的N-孤子解、贝克隆变换等可积性质及孤子解的动力学性质。除此之外，我们通过引入不同的辅助矩阵变量构造了几类超对称推广的(2+1)-维Heisenberg ferromagnet (HF)模型及超对称推广的Hirota方程，并研究了它们的Lax对、贝克隆变换、规范等价等可积性质。利用多维的费米协变的延拓结构法，研究了两类(2+1)-维超可积方程的可积性质。上述结果整理成14篇论文，均发表在国内外有影响力的SCI检索的学术期刊上。本项目在离散和超对称可积系统的构造、求解及可积性质如贝克隆变换、Lax对、规范等价等方面的研究取得了一系列有重要意义的新进展。