准晶非线性断裂力学中Dugdale模型的复变函数解法

Quasicrystals are a kind of new materials, compared with the traditional materials, it exists the phonon field, and also exists the phason field in the elastic and nonlinear deformation behavior under external loads. This determines the study of elasticity and nonlinear deformation of quasicrystals is more complex than traditional materials. In this project, we apply the Dugdale model to simulate the plastic deformation. Meanwhile, we adopt the complex variable function method to study the Dugdale model problems of nonlinear fracture and plastic mechanics of quasicrystals and search for the analytical solutions. The main research objects are two-dimensional and three-dimensional icosahedral quasicrystals. In order to establish the theoretical basis of the nonlinear fracture and plastic mechanics of quasicrystals, we calculate the parameters of nonlinear fracture mechanics of the regular sample of quasicrystals, for example, the plastic zone size and the critical value of the crack tip opening displacement.

准晶是一种新材料，与传统材料相比，在受到外载荷的情况下，它的弹性与非线性变形行为的一个显著不同是除了存在声子场之外，还存在相位子场。这就决定了研究准晶比研究传统材料的弹性和非线性变形更加复杂。针对准晶材料非线性断裂与塑性力学问题，我们应用Dugdale模型来模拟其塑性变形，采用复变函数方法进行研究，寻求其精确解析解。本项目主要研究对象为二维、三维二十面体准晶。计算出这两类准晶常用试样的非线性断裂参量，例如，塑性区尺寸与裂纹尖端张开位移的临界值，为建立准晶非线性断裂与塑性力学判据奠定理论基础。

本项目在现有准晶弹性的解析解基础上，结合若干简化模型（例如Dugdale模型等等），采用复变函数法和数值计算方法对一些常见的准晶非线性变形进行研究。同时发展研究准晶的数学方法，比如采用复变函数方法求解准晶中出现的周期边值问题，期望得到包括单边裂纹、中心裂纹、半无限裂纹等缺陷试样问题的解析解，我们的主要研究内容包括一维六方准晶反平面问题、二维十次对称准晶平面问题、三维二十面体准晶反平面与平面问题的求解，当然也包括这些准晶带有其它常见类型缺陷的塑性变形情况处理。大体上从两个方面入手：一方面，针对静力学问题，寻找合适的保角变换，同时注意声子场与相位子场多场耦合问题的解决步骤，在非线性断裂参量的求解过程中，相应解析函数的寻求和处理。对于二维准晶与三维二十面体准晶中心裂纹的Dugdale模型的求解，与其他缺陷问题的变形处理，我们会找到合适的保角变换，可能这些保角变换不一定是有理函数保角变换，但是我们在研究单边裂纹时候，采用的就是超越函数的保角变换，也做出了一些有意义的结果。另一方面针对动力学问题，我们需要考虑的是差分格式的划分和收敛性分析，同时针对一维六方维准晶，二维十次对称准晶与三维二十面体准晶带有缺陷（主要是裂纹）的有限尺寸的样本进行数值计算，得出其裂纹尖端张开（滑移、撕开）位移，应力强度因子等断裂参量。另外，也期望能获得相应的应力、位移数值计算结果。