混沌系统的分析与控制

The qualitative analysis of dynamical behaviors for chaotic systems and the mechanism of generating chaos are very significant to the study of chaotic systems. The project is designed to give numerical algorithms or symbolic algorithms for some methods of qualitative analysis and bifurcation analysis for complicated chaotic systems with engineering background. Firstly, it computes invariant manifolds numerically or symbolically, and then, we use them to determine equilibria symbolically and provide symbolic algorithms for focal values. Next, the project will give numerical algorithms for Melnikov method and Shilnikov method to some high-dimensional or complicated systems. Then, the project uses approximating method to determine precisely stability, periodicity and chaos for those systems. At the end, the project will analyze the periodic/quasiperiodic parametric perturbation control through Melnikov method and the delay control through Hopf bifurcation theory. Further, combining the analysis of global implicit functions, the project discusses control and anti-control of chaotic systems. The study of these problems will make a progress in study on analysis methods and control for chaotic systems. It also has important theoretical and academic value.

定性分析混沌系统动力学行为及混沌产生的机理对混沌系统的研究具有重要的意义。本项目旨在针对具有工程背景的复杂混沌系统，给出一些定性分析方法和分岔判定方法的数值算法或符号算法。首先，利用不变流形的数值计算和符号计算，对一些高维、复杂系统给出平衡点定性性质判定、焦点量的符号计算等。其次，针对在高维复杂系统中利用Melnikov方法和Shilnikov方法解析计算比较困难，给出Melnikov方法和Shilnikov方法的数值计算算法，以近似的方法准确地判定系统的稳定性、周期性和混沌等动力学行为。最后，运用Melnikov方法分析周期/拟周期参数扰动混沌控制，并运用Hopf分岔进行延迟控制分析，进而，结合全局隐函数分析研究混沌系统的控制与反控制问题。本项目的开展不仅将对混沌系统分析方法与控制研究起到一定的推动作用，而且还具有着重要的理论意义和学术价值。

近年来具有不同类型平衡点（稳定平衡点，无穷多平衡点（直线型，曲线型，平面型，曲面型等），无平衡点）的隐藏吸引子混沌系统被大量发现，一个很自然的问题是是否存在自激吸引子与隐藏吸引子并存的混沌系统。另外，对于复杂非线性系统，同宿/异宿轨道的存在性以及如何沿着同宿/异宿轨道计算Melnikov积分成为两个重要问题。因此如何通过高效的数值方法给出Melnikov积分的计算以及混沌阈值的计算成为动力系统混沌研究的重要课题。本项目围绕混沌系统动力学分析与控制，针对具有不连续点的旋转摆系统、Sprott E（Shilnikov型混沌）系统等开展研究。首先在Sprott E的基础上，经过常数扰动，分析无穷远动力学行为与Hopf分岔。其次设计了一类自激与隐藏吸引子并存的新混沌系统，利用数值仿真方法进行了大范围数值计算，对系统的并存吸引子结构以及Lyapunov指数谱，分岔图等进行了分析，并考虑了在周期激励作用下的系统产生混沌的条件。最后针对一类具有不连续点的旋转摆的混沌问题，改进前人用于异宿分岔的Melnikov方法的数值算法以适应对同宿分岔的分析和克服不连续点导致的困难，利用符号计算与数值计算相结合，对非激励情形作出了定性分析并得到系统具有同宿/异宿、类同宿/类异宿（连接不连续的类鞍点）的参数条件，进而给出了系统在外加阻尼与周期激励作用下由（类）同宿/异宿横截相交导致混沌发生的参数区域。