正规复曲面奇点不变量

To study the analytic invariants of singularities, it will be useful for the classification of complex surface singularities. The normal complex surface singularities with C*-action (X,o) extend the theory of quotient singularity, Brieskorn hypersurface singularity and Brieskorn complete intersection surface singularity. However, the analytic structure of (X,o) is extremely complex, and it is difficult to analysis the topology of analytic invariants in terms of weighted dual graph. Also, the geometric genus can be used to classify the surface singularities, and the maximal ideal cycle, the fundamental cycle and the elliptic sequence can be used to express the geometric genus. It needs to provide the expression of M, Z, and the fundamental cycles and the canonical cycles appeared in the elliptic sequence of (X,o). The calculation is complicated. . Furthermore, the embedding dimension is determined by the maximal ideal of the local ring of singularities, its structure is complex and it is difficult to provide its detailed expression; and the splice quotient singularities extend the minimally elliptic singularities and the normal complex surface singularities with C*-action, it will be useful to connect Gorenstein elliptic singularities. We will. (1) Study the analytic structure and topological structure of (X,o), and want to give the sufficient condition for the coincidence of the maximal ideal cycle and the fundamental cycle;. (2) Study the relations between the fundamental cycles and the canonical cycles appeared in the elliptic sequence of (X,o);. (3) Study the topology of the embedding dimension under certain conditions, and its expression.

研究奇点解析不变量，有利于从整体上对复曲面奇点进行分类。带有C*-作用的正规复曲面奇点(X,o)拓展了商奇点、Brieskorn型超曲面和完全交叉曲面奇点的理论，而(X,o)的解析结构极其复杂，很难从对偶解消图来探讨解析不变量的拓扑性。同样，几何亏格g可用来对曲面奇点进行分类，而极大理想闭链M、基本闭链Z和椭圆序列L这三个不变量可用来表述g，这需要给出M、Z，和 L 中各基本闭链和典范闭链的表达式，计算繁琐而艰巨。.另外，嵌入维数是由奇点局部环的极大理想决定，结构复杂难以给出具体表达式；而拼接商奇点(Y,o)延伸了极小椭圆奇点和(X,o)，且利于衔接Gorenstein椭圆奇点。我们将.(1) 研究(X,o)的解析结构与拓扑结构，拟给出M与Z一致的条件；.(2) 研究(X,o)的椭圆序列中各基本闭链与典范闭链间的关系式；.(3) 研究(Y,o)的嵌入维数在特定条件下的拓扑性及表达式。

正规复曲面奇点的解析结构及其解析不变量的研究，对于从整体上对复曲面奇点进行分类提供了有力的理论支撑；非齐次多重调和方程拟共形映射和非线性代数微分方程的亚纯解的精确表示以及亚纯函数族的正规性的研究，有利于将代数几何与复分析结合起来，运用代数几何的理论知识去解决复分析中的难点问题。根据研究计划和研究过程中衍生出的新问题，主要研究内容如下:.(1) 研究了带有C*-作用的正规复曲面奇点中的一类Brieskorn型完全交叉曲面奇点的解析结构与拓扑结构、Brieskorn型完全交叉曲面奇点（超曲面奇点）的极小闭链在一定条件下的计算表达式及其涉及极小闭链的椭圆（Yau）序列和椭圆（Yau）序列中的典范闭链和基本闭链间的关系式，即-K_{B_i}-(-K_{B_{i+1}})=cZ_{B_i}，c为整数。.(2) 研究了非齐次多重调和方程拟共形映射的一个Schwarz-Pick型不等式，建立了单位圆盘到自身且满足非齐次多重调和方程以及相应边界值条件的K-拟共形映射的一个Schwarz-Pick型不等式，并证明其在一定条件下是渐近精确的。.(3) 研究了一阶非代数类方程的解的估算问题，分别在复平面及其给定的区域上给出了这些方程的亚纯解的Ahlfors-Shimuzu特征的界。另外，在给定的区域内考虑了一类具有亚纯函数解的高阶微分方程，给出了Ahlfors simple islands的个数的上界。.(4) 研究了几类非线性代数微分方程的亚纯函数解，通过复方法等给出了Schamel-Korteweg-de Vries 方程、(2+1)-维sine-Gordon 方程、(2+1)-维Kadomtsev-Petviashvili 方程和 (3+1)-维非线性微分B-type Kadomtsev-Petviashvili方程的精确亚纯解。.(5) 研究了亚纯函数与其k阶导数的增长级和唯一性、一类亚纯函数族在特定条件下的正规性、并且在单位圆盘上研究了p-调和映射和log-p-调和映射的正规性。.(6) 研究了商群Z_m×Z_n/N的结构，其中N为正规子群，分别给出了商群Z_m×Z_n/N在满足条件gcd(m,n)=1和gcd(m,n)≠1（m为素数）情形下的等价群。.所得结论对进一步将代数几何和复分析结合起来提供了一定的理论基础，具有一定的理论意义。