一维准晶体上的KAM理论、Aubry-Mather理论及扩散理论

Our goal is to generalize the thoeries of Frenkel-Kontorova model on one-dimensional crystals to the one on quasi-crystals and estalish the corresponding three theories: overall KAM theory, Aubry-Mather theory for the nearest neighbor and long-range case and the theory of diffusion on lattices. More precisely, we will concentrate on establisthe the KAM theorem for the resonant case and long-range case, since we have established the KAM theorem for the nearest neighbor case.The Aubry-Mather theory is to find the well-ordered Aubry-Mather minimal configurations. The theory of diffusion is to find the the diffusion orbits after the destruction of the KAM tori under proper conditions and how to contruct these orbits. At the same time, since the above three thoeries have not been obtained thoroughly even for the crystals, especially for the mechanism of difusion and the Aubry-Mather theroy for the long-range case, we will try to improve the theory of crystals. Based on the above research, we will also build the above theories for higher dimensional crystals and quasi-crystals.

本研究项目旨在将一维晶体结构上的Frenkel-Kontorova模型所得到的理论结果推广到一维准晶体结构上，构建相应的三大理论，分别为全面的KAM理论（我们已经解决短程作用，这里主要处理共振及长程作用情形）、短程和长程作用下的Aubry-Mather理论（有序的Aubry-Mather极小构型的存在性）、格点上的扩散理论（KAM不变环面在何种条件下破裂，KAM环面破裂后的扩散轨道是否存在、如何构造）。与此同时，由于关于晶体的的三大理论并没有彻底得到解决，特别是扩散机制和长程作用下的Aubry-Mather理论，我们将会在研究准晶体的同时不断完善晶体理论。在此基础上，我们将进一步将所得到的理论结果推广至高维晶体及准晶体情形。

关于一维准晶体的Frenkel-Kontorova型模型的研究，主要来源于固态物理中准晶体材料的稳定性，经济学中的季节性变分原理，生物数学中的植物生长的图式形成等等交叉科学领域。. 我们运用哈密顿系统中的KAM理论、Aubry-Mather理论、弱KAM理论、变分法等工具来研究准晶体模型中的稳态构型、极小构型的存在性和稳定性，建立了比较全面的KAM理论（包括短程作用、长程作用、共振情形等）；在一般假设之下，我们建立了短程、长程作用下的Aubry-Mather理论。与此同时，我们不断完善高维晶体理论，建立了任意维Aubry-Mather模型中的离散弱KAM理论；在时间步长趋于零时，离散弱KAM解收敛于相应连续方程的弱KAM解；在折扣因子趋于零时，折扣Aubry-Mather模型弱KAM解收敛于经典弱KAM解。另外，关于切触哈密顿系统（推广的连续折扣模型），定义隐式算子半群，我们建立了相应的弱KAM理论，动态切触哈密顿雅克比方程粘性的长时间渐进行为（收敛于稳态切触哈密顿系统的粘性解）。最后，我们研究了与长程作用模型有关分式拉普拉斯算子，利用变分方法，建立了此类半线性非局部算子给出的椭圆方程的多解性。. 此项项目有助于推动动力系统理论本身的发展和完善；还可以推广准晶体材料的开发和应用，推动数学与物理、经济、生物等等交叉科学研究的渗透与发展。