非线性高阶发展方程中的若干问题

The project is concerned with some front problems appearing in nonlinear higher order evolution equations. By applying the theory on the Sobolev spaces, the Besov spaces, the operators and the interpolation spaces to the following model equations appearing in the science and technology: the Kirchhoff type equations with strong damping; the Kirchhoff-Boussinesq type equations; the Greenberg type viscoelatic wave equations; the double dispersive nonlinear evolution equations with damping; the nonlinear beam equation and the Boussinesq type equations, we study the global well-posedness and the longtime dynamics of them, the blowup of their solutions, the existence of the global attractors and the exponential attractors and the estimates on their Hausdorff and fractal dimensions for the related infinite dimensional dynamical system provided that the growth exponents of the nonlinear terms appearing in the model equations are subcritical, critical and supercritical, respectively. The research, espetially for the critical and supercritical cases, is complex and full of challenging and needs new mathematical methods. It is interesting for revealing the properties of the model equations, the longtime dynamics of them, and the reason of the chaos of the related dynamical syetem. It is also meaningful to promote the evolution of mathematics and ralated science and technology.

本项目研究非线性高阶发展方程中的若干前沿问题。旨在以在精细选择的相空间中利用非整数次Sobolev空间和Besov空间理论、算子和插值空间理论作出精细估计为手段、研究在科学技术中提出的具强阻尼的Kirchhoff型方程、Kirchhoff-Boussinesq型方程、Greenberg型粘弹性波动方程、具阻尼双色散非线性发展方程、非线性梁振动方程、Boussinesq 型方程等的定解问题，研究当非线性项的增长阶指数相对于能量空间分别为次临界、临界和超临界时，问题的整体适定性、解的爆破和长时间动力学行为，研究对应的无穷维动力系统整体吸引子和指数吸引子的存在性、它们的维数估计等。这项研究，尤其是临界和超临界情形，具有复杂性和挑战性，要求新的数学方法的出现，同时对阐明上述模型方程的性质和长时间动力学行为、阐明对应无穷维动力系统的混沌行为的形成机制，对科学技术以及数学自身的发展都具有科学意义。

本项目研究非线性高阶发展方程中的若干前沿问题。我们在具有低正则性相空间中利用非整数次Sobolev空间和Besov空间理论、算子和插值空间理论、弱拟稳定性估计和补偿紧致方法、研究了在科学技术中提出的具强阻尼或者分数阶阻尼的Kirchhoff型方程、阻尼Boussinesq型方程、具有分数阶阻尼的非线性波动方程、具阻尼双色散非线性发展方程、非线性梁振动方程等的定解问题，研究了当非线性项的增长指数分别为次临界、临界和超临界时，问题的整体适定性、解的爆破和长时间动力学行为，研究了整体吸引子和指数吸引子的存在性、它们的维数估计等。本项目公开发表研究论文25篇，其中23篇发表在国内外有重要影响的SCI期刊上并被SCI收录，1篇被EI收录，1篇发表在中文核心期刊上。这些研究成果对阐明上述模型方程的性质和长时间动力学行为、阐明对应的无穷维动力系统的混沌行为的形成机制、对科学技术以及数学自身的发展都具有科学意义。