发展方程最优控制问题的积分平均非重叠型区域分解方法

Based on the theory of the applicant's doctoral thesis, this project is built up to research on a new and efficient numerical simulation method for optimal control problem governed by evolution equations. These equations include three classical equations: parabolic equation, unsteady convecton diffusion equation, second -order hyperbolic equation. This method is called as integral-mean explicit/implicit nonoverlapping domain decomposition procedures based on the inter-domain boundaries. The numerical scheme of this method will be established and relevant theoretical qualities will be analyzed, such as convergence, stablity and local conservation. Compared numerical experiments will be presented to confirm the theoretical results and show the efficiency of the scheme. Numerical simulation software will be complied in order to conveniently apply and extend this numericl simulation method to practical production in the field of optimal control problem. This project has the distinct background of practical application. There will be more theoretical innovations in the outcomes of this research, which will greatly improve the theory, the technology and the engineering application softwares of numerical simulation in the field of optimal control problem.

在博士学位论文的理论基础上，本项目拟对三类最基本的发展方程最优控制问题- - 抛物型方程、非稳态对流扩散方程、二阶双曲型方程最优控制问题, 系统地研究探讨一种新型、高效的数值模拟方法- - 基于交界面积分平均的显/隐非重叠型区域分解方法。建立起它们的数值计算格式，分析研究格式的收敛性、稳定性、局部守恒性、误差估计等。做出对比的数值试验，验证理论结果的正确性，研究这些格式的实际计算效果。在此基础上，编制数值模拟软件, 以便推广到最优控制问题数值模拟的生产实际。 本项目具有鲜明的实际应用背景, 研究成果将有较大的理论创新，将有助于丰富偏微分方程最优控制问题数值模拟领域的理论，促进该领域数值模拟技术和工程应用软件的新发展。

近些年来，在数学和工程界，由偏微分方程约束的最优控制问题受到了广泛的关注。在诸多领域有广泛应用，如：材料形状设计、流体控制、温度场控制等。偏微分方程约束的最优控制问题的数值模拟方法，已经成为计算数学的一个重要研究分支。这些研究，无论是对计算数学的理论分析，还是对工程的实际应用需求，都具有重要的意义。. 本项目系统研究了三类最基本的发展方程最优控制问题基于交界面积分平均的显/隐非重叠型区域分解方法。这三类方程是： 带有Neumann边界控制条件的抛物型方程最优控制问题； 带有右端控制变量项的非稳态对流扩散方程最优控制问题； 分别带有Neumann边界控制条件和吸收边界控制条件的波动方程最优控制问题。. 对每个模型问题的具体研究内容，包括三个方面： 首先，利用偏微分方程最优控制理论，结合状态方程，推导出了所对应的伴随状态方程及其最优性条件。其次，采用非重叠型区域分解方法，对计算区域进行分解，引入子区域间内边界上的积分平均显式数值流方法， 先建立了状态方程的基于交界面积分平均的显/隐式数值计算格式， 然后再次利用偏微分方程最优控制理论，建立了对偶状态方程的基于交界面积分平均的显/隐式数值计算格式和最优性条件的数值计算格式。 最后，对状态方程、对偶状态方程和最优性条件的数值计算格式所形成的复杂离散方程组系统，进行严谨的数值分析， 研究了这些格式的稳定性、局部守恒性、最优阶先验误差估计等相关性质。设计了数值试验算例，编写了程序，通过对比数值计算，验证所得到的理论结果的正确性，说明了所建立的数值方法的有效性。. 项目研究的主要成果是以论文形式投稿发表于计算数学研究领域内的知名高水平学术刊物上。项目资助共计已发表：7篇SCI摘录期刊论文、1篇EI摘录期刊论文、1篇中文核心期刊论文。项目组成员还指导一名硕士生完成了一篇与项目相关的硕士学位论文， 通过了答辩毕业。另已完成4篇学术论文，已投稿重要的SCI摘录期刊。项目的研究开展，也极大增强了项目组研究人员的科研能力，促进了他们科研水平的提高。. 本项目的研究具有鲜明的实际应用背景, 所获得的研究成果在理论上将有助于丰富偏微分方程最优控制问题数值模拟领域的理论， 促进该领域数值模拟技术和工程应用软件的新发展。