格点问题与振荡积分理论

This project mainly studies the oscillatory integral theory and its application to several lattice point problems associated with convex domains, including the famous Gauss Sphere Problem and high-dimensional lattice point problems with degenerate assumptions, etc. Main content of the research contains: using the tools from the oscillatory integral theory to estimate the sizes of certain special exponential sums and the Fourier transforms of the characteristic functions of certain convex domains, then combining the results with knowledge from differential geometry and analytic number theory to get new bounds of the remainder of the lattice point problem.

本项目主要研究振荡积分理论以及它在几个与凸区域相关的格点问题中的应用，包括著名的高斯球内格点问题以及高维退化情形下的格点问题等。具体研究内容包括：利用振荡积分的工具去更加精细地估计某些特殊的“指数和”以及某些凸区域的特征函数的傅里叶变换的大小，然后结合微分几何和解析数论的知识，去得到新的格点问题的余项估计。

在本项目中我们探索了调和分析在数论和谱几何问题里的应用。更确切地，我们运用振荡积分理论在格点问题中，获得了退化情形（边界高斯曲率可消失）下的几个新的余项估计。证明依赖于某些特殊的“指数和”以及区域的特征函数的傅里叶变换的估计。我们运用类似的方法在谱几何的谱计数问题中，突破了经典方法的局限。