正交矩的两个数学问题：正交多项式的非解析方法与递归收敛性

正交矩作为图像理解与模式识别的一种重要技术手段，人们总希望低阶矩包含更丰富的图像信息且高阶矩收敛，前者取决于正交基函数的物理性质，后者与数值误差的传递密切相关。针对前一问题，本项目深入研究经典正交理论，提出权函数是影响正交多项式零点分布的关键因素。以正交矩零点采样原理为基础，拟通过优化权函数设计改善零点分布，采用正交化准则结合高斯消去法的手段灵活构造非解析正交多项式，在有限复杂度的条件下构造高性能正交矩；进一步，在不考虑离散、几何等误差情况下，如何判断正交多项式递归算法的收敛性也是正交矩面临的难题。本项目拟将正交多项式的三项递归公式转化为对阶数k的二阶微分方程，运用自控理论的线性系统稳定性分析方法，探究正交多项式递归算法的数值稳定条件。本项目是对涉及正交矩特征表达与数值稳定的两个数学问题：核函数物理特性与误差传递的有益探索，不仅是图像工程亟待解决的问题，也是应用数学研究的难点。