基于广义正交多项式的分数阶非线性系统无记忆方法

Based on some generalized orthogonal polynomials, this project aims to investigate some memory-free analysis methods for fractional nonlinear systems. The theoretical basis will be rigorously addressed for the Gaussian quadrature formula of generalized orthogonal polynomials with emphasis on the stability, convergence and adaptability. By combining memory-free transformation, the fractional derivatives will be fast calculated by the proposed Gaussian quadrature formula. Several effective techniques for adjusting and controlling the convergence of the calculation of fractional derivatives will be proposed by emphasizing the influence of the fractional order on the convergence of Gaussian formula. Based on these preliminary studies, some high precision and efficient memory-free analysis methods will be presented to solve fractional nonlinear vibrations without limited by a small fractional order. Further, the proposed methods will be extended to simulate the time-space fractional partial differential equations with long-time and large-space computational domain, such as the anomalous diffusion, and so on. The validity, precision and efficiency of the above-mentioned approaches will be synthetically investigated. These methods could be widely applicable to the quantification of nonlinear vibrations containing fractional derivatives, the dynamics modeling and analysis of various visco-elastic materials, and anomalous diffusion, etc.

本项目拟基于广义正交多项式，研究能高效求解分数阶非线性系统的无记忆方法。改进广义正交多项式Gauss求积公式，探讨其理论基础如算法稳定性、收敛性以及适应性等。结合无记忆变换原理，引入改进的求积公式，实现分数阶导数的快速计算；探讨分数阶对求积公式收敛性的影响、研究能调节和控制算法收敛的有效途径；最终，提出能求解分数阶非线性振动系统高效高精度的无记忆方法。方法具有不受分数阶限制的突出优点，也即是对任意分数阶导数都是有效的。进一步将所提方法推广，使之能求解分数阶偏微分方程，以反常扩散现象等分数阶系统为例，实现时空分数阶系统大空间范围内的长时间数值模拟。综合研究所提算法，在求解分数阶常微分和偏微分系统时的有效性、精度和效率。本项研究不仅具有重要的理论和学术意义，而且在分数阶系统尤其是非线性振动系统的定量分析、黏弹性材料的动力学建模与分析、以及反常扩散问题中，都具有广阔的工程应用前景。

由于分数阶导数具有简洁、准确、参数意义明确等突出优点，在很多科学和工程中已显示出重要的研究价值和广阔的应用前景，例如黏弹性材料、软物质、反常扩散、控制理论等。作为一类典型的分数阶微分方程，分数阶振动系统引起了越来越多的关注。但是，分数阶系统的计算量呈指数增长，长时间历程的数值模拟几乎不可能实现。因此，发展高精度和高效率的分析方法是当前的研究热点和难点之一。.因此，本项目致力于发展分数阶系统的快速计算方法，主要包括以下三项工作： 一是改进了无记忆方法，提高了算法的精度、拓展了其适用范围。申请人提出了一种原创的反常积分分解方法，消除了被积函数的奇异性和弱衰减性。在此基础上，建立了一种分数阶系统快速计算方法，不但实现了计算量的线性增长，且精度非常高，适应范围广。此外，通过引入广义Gauss-Laguerre正交多项式，进一步提高了算法的计算精度。 二是提出了一种新的分数阶系统快速方法，基于Caputo分数阶导数可表示为扩散方程的解，因此分数阶导数的计算问题就转换为扩散问题的求解问题，引入分离变量法求解扩散方程，意味着将分数阶系统转化为常微分方程组，实现了计算量的线性增长，其中求解的关键在于将无限的边界条件近似为有限边界条件。三是将所提方法应用于分数阶时滞系统的分析，获得了其稳定性切换的解析判据，得到了系统稳定性切换随分数阶的变化规律，为非线性系统的设计和控制提供了一定的理论指导。在本项目的资助下，项目组发表学术论文6篇，其中SCI收录6篇，包括力学和振动领域的重要期刊Computational Mechanics一篇、International Journal of Non-Linear Mechanics二篇。