若干几何热流的几何分析问题的研究

According to the important roles of geometrical evolution.equations in geometry, topology and physics etc., our research will keep continuous on our earlier finished grant work, focus on the study of following problems around.Ricci flow, hypersurfce flow and one new "conformal Ricci flow" proposed by A. Fisher:. On Ricci flow，we will study on the problems including the reltions between the blowing up of the solution and the related curvature energy; the curvature operator invariance with its applicaions, the analysis on the singularity of the flow including the geometricl analysis on Ricci soliton, ancient solution so on.. On the flow of hypersurfaces, we will give a further study on the problems including the convergence behavior of the more general flows including Gauss curvature flow, the related applications of the results on Ricci flow on tho se hypersurface flow including the mean curvature flow.. On the new flow named "conformal Ricci flow" by A. Fisher, we will begin on the study of the solution including the problems of the short time existence, singularity behavior, convergence, the relation with the Yamabe invanriance and the.related ADM mass so on.

鉴于几何发展方程在几何、拓扑及物理等学科方向重要的研究作用，本项目将在已完成的项目研究基础上，主要围绕Ricci曲率流、超曲面流及一种由A.Fisher提出的新型的所谓"共形Ricci曲率流"等几何热流，开展如下几方面问题的研究与探索：.在关于Ricci曲率流方面，将着重在包括诸如解的爆破与解的曲率能量关系的估计，解的关于曲率的不变性与应用、解的奇异性研究及相关的包括Ricci孤立子及古典解等特殊解的几何与分析问题的深入研究。.在关于超曲面流方面，将着重在关于包括Gauss曲率流在内的一般超曲面流的收敛性分析及上述关于Ricci曲率流问题的研究在包括平均曲率流等方面的推广及应用的深入研究。.在关于一种新型的共形Ricci曲率流方面，将着重在关于解的存在性、奇异性、 收敛性，与Yamabe 不变量间的关系及解与ADM质量之间的关系等方面进行研究与探索。

根据研究计划，本课题组首先在关于Hamilton的Ricci曲率流方面已在以往研究成果的基础上发现了对于黎曼流形上一种介于Hamilton的正曲率算子及Wilking的2-正曲率算子之间的更为一般的不变性现象即$\lambda$-正曲率算子的不变性，进而一方面得出相应的极大 值原理，又基于此新的不变凸性发现其在关于Ricci 曲率流的微分Harnack微分不等式方面具有新的推广与应用；其次，在关于欧式空间中超曲面曲率流方程研究方面，区别于以往常见的关于曲面流在演化过程中已有的包括凸性及收敛于一圆点特性等事实，我们已发现相当一大类的超曲面流具有与上述事实相反的结果， 包括即使初始曲面是一致凸的或光滑的，仍会发生在演化中曲面变得非凸的或曲率在某处变得无穷大而产生奇异性。同时还有一些曲面流在初始曲面具有奇异性或非一致凸性部分时，此区域的上述 特性在演化过程中仍保持不变， 进而最终收敛到一段线段乃至更高维的圆盘而非圆点；另外，在关于共形Ricci曲率流（CRF）的研究方面，针对A.Fisher所提出的曲率流CRF，我们已在紧致及渐进平坦流形上得出了包括关于解的短时存在性、紧致流形上Yamabe常数的单调递增性及渐进平坦流形上ADM质量的梯度流即为此CRF流等系列成果，进而给出了著名的正质量猜想证明中关于刚性结果的新的部分的另外一种新的证明等系列成果。 最后，在其他方面主要是围绕着 Bakry-Emery 曲率有界条件，研究了关于完备非紧测度空间上包括特征值估计、热核估计及关于此类空间的端的个数估计等几何分析结构等方面的问题及应用等获得了新的进展，推广了相关以往他人的研究结果。