非光滑波动方程的复杂动力学行为分析

近年来，因系统向量场存在奇异性而导致产生非光滑波解的各类非光滑波动方程，成为了非线性科学研究研究焦点之一。本项目将考虑几类典型的非光滑波动方程，首先应用现代分岔理论，通过考察系统拓扑相空间中的平衡点及其性质，同时考虑不同类型奇线的相对位置，并结合方程可能存在的完全可积性、双Hamilton结构等特殊性质，得到参数空间中的分岔转迁集，讨论系统在所有转迁集上的各种分岔模式，进而得到方程的所有可能解(包括孤立子解)及其存在条件，并将上述结果推广至高阶耦合的非光滑波动方程组；其次，给出不同形式的线性或非线性结构扰动项的一般形式，分析这些结构扰动对这几类非光滑波动方程的解的影响，进而给出扰动解的一般表达式，最后，分析各种不同的周期扰动对这几类非光滑波动方程解的全局行为的影响规律，探讨其演化的一般性规律，揭示其复杂动力学行为的本质和可能存在的新现象，从而为工程实际提供理论基础。

非线性波动方程的解及其复杂性是非线性科学的研究热点之一。本项目研究系统向量场存在奇异性而导致产生非光滑波解的各类非光滑波动方程，主要侧重于如下几方面的工作：.1. 考虑实际工况中的各类非线性因素，建立适用范围更广的非光滑波动方程；.2. 利用动力系统的分岔理论，讨论非光滑波动方程的波解在其参数空间中各种分岔行为；.3. 非光滑波动方程对应的动力系统的拓扑相空间中不同类型奇线对波解的影响；.4. 耦合的高阶非光滑波动方程的波解的形式、分类；.5. 针对不同形式的线性或非线性结构扰动项，分析这些结构扰动对非光滑波动方程的解的影响；.6. 在不同扰动下，我们讨论了非光滑波动方程的主要包含混沌及同步、簇发等复杂现象。