用户友好型高效数值方法研究及应用

本项目研究基于目标优化的网格尺寸函数、网格加密、粗化和移动策略与具有超逼近（超收敛）的后验误差指示子，发展用户友好型自适应方法；研究高质量网格生成的快速算法，特别是高质量曲面和四面体网格生成的高效算法以及程序实现；研究用户友好型（并行）代数多重网格方法及其理论分析；研究三维Maxwell方程组高效区域分解方法；研究自适应、多重网格和区域分解与超收敛等高效数值方法的有效集成，发展新的可扩展性好、具有广泛的适应性和很强的可移植能力的用户友好型高效数值方法，并将它应用到弹性力学、电磁场特别是超材料电磁场等实际科学工程计算与数值模拟中。

本课题组通过项目的研究，将高质量网格生成的快速算法（包括网格加密、粗化和移动）和几乎渐进准确的后验误差指示子有机结合，提出了一种新的自适应有限元方法；首次证明了Stokes问题、Kirchhoff板问题和时谐 Maxwell 方程组自适应非标准有限元方法的收敛性和最优性；给出了Reissner-Mindlin板问题和高频Helmholtz方程有限元方法，以及Kirchhoff板问题两个非协调一阶矩形板元稳健的后验误差估计；建立了产生椭圆偏微分方程特征值问题特征值下界的系统方法和高效算法；针对典型的复杂离散系统（包括Maxwell方程和电磁场散射问题（自适应）离散方法），获得其鲁棒的快速迭代算法；系统地研究了超材料中的电磁场的数值方法和数学理论，提出了一系列高精度离散格式，分析了它们的稳定性和收敛性；对二维高频的Helmholtz方程的有限元方法，设计了一种基于Lagrange乘子区域分解的多层方法；提出了模拟硅钢片内三维涡流分布的新数学模型，建立了其适定性和收敛性，并对其进行了有限元分析；证明了四阶椭圆边值问题低阶有限元方法在L2范数意义下有且只有二阶收敛性，解决了有限元研究领域这长达60年的公开基本问题；同时在各向异性高质量网格生成、超收敛和新型离散方法等研究方向取得实质性进展。