有几何背景的交换分次环的研究

We will study the properties and their applications of the commutative graded rings such as Rees rings，the associated graded rings，fiber cones and symmetric algebras, which have deep background in algebraic geometry，combinatorial commutative algebra and computational commutative algebra. We mainly research these properties such as depth，Buchsbaumness，Cohen-Macaulayness and Gorenstein property of base ring，Rees rings，the associated graded rings and fiber cones，and the relationship between these properties and ideals of rings. We not only invetigate the characteristics of Hilbert coefficients of ideal, fiber coefficients of fiber cone and Hilbert functions of these graded rings，but also explore the connection between these properties such as depth，Buchsbaumness，Cohen-Macaulayness and Gorenstein property of these rings and these properties of their Veronese subrings. At one time, we also study properties of the local cohomology modules and canonical modules of these rings. Furthermore, we pursuit the above-mentioned properties of graded rings defined by a number of ideals. We consider the commutative graded rings with geometric background in commutative Algebra, We not only research Algebra objects but also pay attention to their geometry background, It makes this project have great significance for making Algebra much more next to geometry.

本项目将研究在代数几何、组合交换代数和计算交换代数方面有深刻背景的Rees环、相伴分次环、纤维锥和对称代数等交换分次环的性质及其应用。主要研究基环、Rees环、相伴分次环和纤维锥的深度、Buchsbaum性、Cohen-Macaulay性、Gorenstein性的关系以及这些性质与环的理想间的关系；研究理想的Hilbert系数、纤维锥的纤维系数及相伴分次环和纤维锥的Hilbert函数具有的特点；研究这些分次环环的深度、Buchsbaum性、Cohen-Macaulay性、Gorenstein性与它们的Veronese子环的关系；研究它们的局部上同调模和典范模的性质；近而研究多个理想定义的分次环和对称代数的上述问题。本项目以交换代数中具有几何背景的交换分次环为研究对象，在研究代数对象的同时又注重几何背景，使交换代数更贴近代数几何，具有重要的意义。

本项目研究了在代数几何、组合交换代数和计算交换代数方面有深刻背景的相伴分次环、纤维锥等交换分次环和模的性质及其应用。.设R是一个含单位元的交换Noether环，M是一个Artin R-模，我们研究了M的对偶Bass数的消失性质、环R或滤链模的纤维锥的性质, 给出了余局部化模的余梯度、余维数和平坦维数这三者之间的关系，也给出了当相伴分次环和纤维锥的深度充分大时，多重分次理想的联合约化数与假设数及维数之间的关系，同时给出了纤维锥的Hilbert级数的上界, 我们也给出了滤链模的纤维锥的正则度的上界与局部上同调模之间的关系。如果R为域k上n个变元的多项式环，I是一个无平方的单项式理想，我们研究I的深度、Stanley深度、投射维数、正则度、Schmitt-Vogel数、算术秩，给出了它们的性质与理想I的生成元的组合性质之间的关系。.我们给出了特征p>0的代数闭域k上的n维光滑射影代数簇X上的无挠凝聚层的截断对称积的不稳定性和它的Frobenius正向层的不稳定性的上界一个估计，并且给出了Frobenius正向层是斜率半稳定层的一些充分条件。我们还研究了正特征域上高维光滑射影代数上的局部正合(闭)微分形式层的斜率(半)稳定性,证明了满足一定条件的光滑射影代数簇的循环覆盖具有强(半)稳定余切层。同时，我们还证明了正特征域上任意秩为3的半稳定Higgs丛都是强半稳定Higgs丛；在一定条件下，强半稳定Higgs丛的张量积仍然是强半稳定Higgs丛。 如果X是亏格g>1的射影光滑曲线，我们证明了Frobenius推出作用诱导的曲线上相应半稳定向量丛模空间之间的点集映射是本征态射，并且证明该态射诱导出稳定向量丛模空间之间的态射是闭浸入。.本项目以交换代数中具有组合与几何背景的交换分次环为研究对象，在研究代数对象的同时又注重它的组合与几何背景，使交换代数更贴近组合交换代数和代数几何，具有重要的意义。