一类广义的非线性延迟偏积分微分方程的数值方法研究

Delay integro-differential equations can simulate some phenomena with memory and genetic characteristics very well. However, these equations include the integral, derivative and delay terms, which makes the study much more difficult. Especially, for the nonlinear delay partial integro-differential equations, there still exist a lot of open problems with respect to the theory and computation.. For this reason, this project will focus on the numerical computation of a class of important and representative nonlinear delay partial integro-differential equations. The research content mainly includes: (1) Improve the existed methods for solving linear problems from the view of reducing storage requirements and shortening the computing time. (2) Construct the fast algorithm with strong stability for solving the nonlinear delay partial integro-differential equations. (3) Extend the object problems to the much more complicated situations, such as the pantograph type delay, variable delay and the multidimensional problems.. The fulfillment of the current project will overcome the barriers in the poor stability, low accuracy, huge storage requirements and long computing time for solving the delay partial integro-differential equations, and provide a novel feasible pathway to effectively deal with the strong stiff nonlinear problems and the multidimensional problems.

延迟积分微分方程能够很好地模拟一些具有记忆和遗传特征的现象。但由于同时存在着微分项、积分项和延迟项，这使得对它们的研究变得非常困难。尤其针对非线性延迟偏积分微分方程，无论是从理论还是数值计算的角度都还存在着很多未解决的问题。. 鉴于此，本项目拟选择一类有较强代表性的非线性延迟偏积分微分方程进行数值研究。研究内容主要包括：(1)从降低存储需求、缩短计算时间的角度完善线性情形下的已有结果；(2)构造求解非线性延迟偏积分微分方程的快速稳定算法；(3)将研究问题进一步拓展到更加复杂的pantograph型延迟、变延迟和高维情形。. 本项目的开展将解决数值求解延迟偏积分微分方程面临的稳定性差、精度低、计算时间长和存储空间需求大的困难，同时为有效处理相关的非线性刚性问题和高维问题提供可行的新方案。

延迟积分微分方程凭借其模拟记忆和遗传现象的潜在优势，被广泛应用于生态、控制、物理和化学等众多领域。由于其同时涉及微分项、积分项和延迟项，使得对它们的研究也变得更加困难。本项目重点围绕几类广义的延迟偏积分微分方程构造了若干新颖的高效数值算法，尤其是有限差分解法。经过三年执行期的建设，取得了一些新颖、适用的积分微分方程算法理论，包括解的可解性、稳定性、收敛性等，在国际重要学术刊物上累计发表SCI收录论文11篇。这些成果的获得已陆续为相关领域的研究提供了一定的参考。此外，在该项目的资助和平台支持下，本团队培养硕士研究生10余名，其中1名硕士生已按时毕业并考入某双一流高校继续攻读博士学位。此外，我们积极开展了与国内外同行的合作交流，主持和参加了系列相关学术活动。因疫情等因素的影响，除一些计划中的部分研究内容尤其是国(境)外合作交流情况没有获得期待的结果外，我们已完成了既定的研究任务。